Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Расстояние между двумя точками

Расстояние dd между точками  M1(x1,y1){M_1}{({x_1},{y_1})} и M2(x2,y2){M_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right) находится по формуле: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}.rastojanje tacaka

Расстояние между точками M1(x1,y1)M_1(x_1, y_1) и M2(x2,y2)M_2(x_2, y_2) равно d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. Эта формула — теорема Пифагора: разности координат x2−x1x_2 - x_1 и y2−y1y_2 - y_1 — катеты прямоугольного треугольника, а отрезок M1M2M_1M_2 — его гипотенуза.

Порядок точек не важен, потому что разности возводятся в квадрат: (x1−x2)2=(x2−x1)2(x_1 - x_2)^2 = (x_2 - x_1)^2. Чаще всего ошибаются с отрицательными координатами: 3−(−5)=83 - (-5) = 8, а не −2-2. Другая частая ошибка — извлекать корень из каждого слагаемого отдельно, ведь a2+b2≠a+b\sqrt{a^2 + b^2} \ne a + b. Расстояние всегда неотрицательно и равно нулю, только если точки совпадают. По той же формуле находят длину стороны многоугольника, радиус окружности и проверяют, равнобедренный ли треугольник.

1234567891234567xy86d = 10M₁M₂
x₂ − x₁
8
y₂ − y₁
6
d
10
Пунктирные отрезки — катеты: их длины равны разностям координат. Расстояние dd — гипотенуза, поэтому всегда d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.

На небольших расстояниях картографические программы вычисляют по этой формуле расстояние по прямой между двумя точками, зная их координаты. В видеоиграх так же проверяют, находится ли противник в зоне досягаемости.

Полёт вертолёта

Вертолёт скорой помощи вылетает с базы в точке A(3,2)A(3, 2) к месту аварии в точке B(27,9)B(27, 9); единица длины на карте — 1 км. Он летит по прямой со скоростью 150 км/ч. На каком расстоянии от базы место аварии и через сколько минут вертолёт туда прилетит?

Решение

  1. Разности координат: x2−x1=27−3=24x_2 - x_1 = 27 - 3 = 24 и y2−y1=9−2=7y_2 - y_1 = 9 - 2 = 7.
  2. Расстояние: d=242+72=576+49=625=25d = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 км.
  3. Время полёта: t=25150=16t = \frac{25}{150} = \frac{1}{6} ч, а шестая часть часа — это 10 мин.

Ответ: Место аварии находится в 25 км от базы по прямой, и вертолёт долетит туда за 10 минут.

Задача для тренировки

Найдите расстояние между точками A(−2,5)A(-2, 5) и B(4,−3)B(4, -3).

Показать решение

d=(4−(−2))2+(−3−5)2=62+(−8)2=36+64=10d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10.