Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Сложная функция

Функция FF, определённая следующим образом

y=F(x)=f(g(x))y = F\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right), где D(F)={x∈D(f):f(x)∈D(g)}D\left( F \right) = \left\{ {x \in D\left( f \right):f\left( x \right) \in D\left( g \right)} \right\}

называется сложной функцией.

Сложная функция F(x)=f(g(x))F(x) = f(g(x)), или f∘gf \circ g, получается, когда результат функции gg становится аргументом функции ff: сначала вычисляют внутреннюю функцию gg, затем внешнюю ff. Область определения состоит из тех x∈D(g)x \in D(g), для которых g(x)∈D(f)g(x) \in D(f). Можно составить и цепочку из нескольких функций, например f(g(h(x)))f(g(h(x))); вычисляют всегда изнутри наружу.

Например, для f(x)=xf(x) = \sqrt{x} и g(x)=x−4g(x) = x - 4 имеем f(g(x))=x−4f(g(x)) = \sqrt{x - 4} с областью определения [4,∞)[4, \infty), а g(f(x))=x−4g(f(x)) = \sqrt{x} - 4 с областью [0,∞)[0, \infty). Порядок важен: f∘gf \circ g и g∘fg \circ f, как правило, разные функции. Не находите область определения по упрощённой формуле: для f(x)=x2f(x) = x^2 и g(x)=xg(x) = \sqrt{x} получаем f(g(x))=xf(g(x)) = x, но только при x⩾0x \geqslant 0.

13579−3−1130xyff(g(x))g(f(x))
2
6
g(x₀)
4
f(g(x₀))
2
g(f(x₀))
0,449
f(g(x))=x−cf(g(x)) = \sqrt{x - c} — график корня, сдвинутый вправо на cc, а g(f(x))=x−cg(f(x)) = \sqrt{x} - c — тот же график, опущенный на cc. Когда x0<cx_0 < c, внутреннее значение g(x0)g(x_0) отрицательно, поэтому f(g(x0))f(g(x_0)) не существует.

Сложные функции возникают, когда действия выполняются одно за другим: скидка, а затем НДС, обмен валюты, а затем комиссия, или площадь пятна, которая зависит от радиуса, а радиус — от времени.

Купон и НДС

Цена куртки без НДС — 4000 динаров. Купон уменьшает цену на 500 динаров, а НДС 20% умножает цену на 1,21{,}2. Сколько вы заплатите, если купон применяют до начисления НДС, и сколько — если после?

Решение

  1. Купон — это функция g(x)=x−500g(x) = x - 500, а НДС — функция f(x)=1,2xf(x) = 1{,}2x.
  2. Купон до НДС: f(g(x))=1,2(x−500)=1,2x−600f(g(x)) = 1{,}2(x - 500) = 1{,}2x - 600, поэтому f(g(4000))=4800−600=4200f(g(4000)) = 4800 - 600 = 4200.
  3. Купон после НДС: g(f(x))=1,2x−500g(f(x)) = 1{,}2x - 500, поэтому g(f(4000))=4800−500=4300g(f(4000)) = 4800 - 500 = 4300.
  4. Разница в 100 динаров — это НДС на сам купон: 0,2⋅500=1000{,}2 \cdot 500 = 100.

Ответ: Если купон применяют до НДС, куртка стоит 4200 динаров, а если после — 4300 динаров.

Задача для тренировки

Для f(x)=xf(x) = \sqrt{x} и g(x)=2x−6g(x) = 2x - 6 найдите f(g(x))f(g(x)) и g(f(x))g(f(x)) с их областями определения и вычислите f(g(5))f(g(5)).

Показать решение

f(g(x))=2x−6f(g(x)) = \sqrt{2x - 6}, область определения из 2x−6⩾02x - 6 \geqslant 0: [3,∞)[3, \infty). g(f(x))=2x−6g(f(x)) = 2\sqrt{x} - 6, область [0,∞)[0, \infty). f(g(5))=4=2f(g(5)) = \sqrt{4} = 2.