Точки экстремума

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка ${x_0}$ называется точкой локального максимума функции $f$, если выполняется условие: $\exists {U_\delta }\left( {{x_0}} \right):\forall x \in {U_\delta }\left( {{x_0}} \right)$  $f\left( {{x_0}} \right) \geqslant f\left( x \right).$
Аналогично точка ${x_0}$ называется точкой локального минимума функции $f$ , если выполняется условие: $\exists {U_\delta }\left( {{x_0}} \right):\forall x \in {U_\delta }\left( {{x_0}} \right)$ $f\left( {{x_0}} \right) \leqslant f\left( x \right).$

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка ${x_0}$ – точка экстремума функции $f$, то она критическая.

Замечаниe:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $f$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки ${x_0}$, кроме, быть может, самой точки ${x_0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

1. Если производная ${f'}$ меняет знак с » — » на «+» при переходе через точку ${x_0}$: $\forall x \in \left( {{x_0} - \delta ;{x_0}} \right)$ $f'\left( x \right) < 0$ и $\forall x \in \left( {{x_0};{x_0} + \delta } \right)$ $f'\left( x \right) > 0$, то ${x_0}$ – точка строго минимума функции $f$.
2. Если производная ${f'}$ меняет знак с «+» на » — » при переходе через точку ${x_0}$: $\forall x \in \left( {{x_0} - \delta ;{x_0}} \right)$ $f'\left( x \right) > 0$ и $\forall x \in \left( {{x_0};{x_0} + \delta } \right)$ $f'\left( x \right) < 0$, то ${x_0}$ – точка строго максимума функции $f$.

Замечание:

Если ${x_0}$ – точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная ${f'}$ меняет знак при переходе через точку ${x_0}$.

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $f$, она определена в некоторой окрестности точки ${x_0}$, ее первая производная $f'\left( x \right) = 0$  и пусть существует $f»\left( {{x_0}} \right)$, тогда:

1. Если $f»\left( {{x_0}} \right) > 0$, то точка ${x_0}$ – точка строгого минимума;
2. Если $f»\left( {{x_0}} \right) < 0$, то точка ${x_0}$ – точка строгого максимума.

Замечаниe:

Если $f'\left( x \right) = 0$ ${f}'(x)=0$ и $f»\left( x \right) = 0$ ${f}''(x)=0$, то функция $f$ может и не иметь экстремум в точке ${x_0}$.

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности точки ${x_0}$, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть существует ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)$, n>2 и  $$f'\left( {{x_0}} \right) = f»\left( {{x_0}} \right) = … = {f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( {{x_0}} \right) = 0,{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0.$$ Тогда:

1. Если n=2k (т.е n – четное), то ${x_0}$– точка экстремума:
   • если ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) < 0$ , то ${x_0}$ – точка локального максимума;
   • если ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) > 0$, то ${x_0}$ – точка локального минимума;
2. Если n=2k+1  (т.е n – нечетное), то ${x_0}$ – не является точкой экстремума.