Обртна тела
Лопта
Сфера је скуп тачака простора које су једнако удаљене од дате тачке коју називамо центар сфере.
Лопта је део простора ограничен сфером.
Нека је $R$ полупречник лопте. Важи
$P = 4{R^2}\pi$
$V = \frac{{4{R^3}\pi }}{3}$
Калота
$P_K=2R\pi h$
Одсечак
$P_O=P_K+r^2\pi$
$V_O=\frac{1}{3}h^2\pi(3R-h)$
Лоптин исечак
$P_I=M_{kupe}+P_{kalote}=rR\pi+2R\pi h$
$V_I=\frac{2}{3}R^2\pi h$
Лоптин слој
$P_S=2R\pi h$
Ваљак
Ваљак је део простора ограничен кружном цилиндричном површи и двема подударним кружним површима.
Прав ваљак је ваљак чије су бочне ивице нормалне на раван основе, док код косог ваљка бочне ивице нису нормалне на раван основе.
Висина ( Н ) ваљка је дуж чији крајеви припадају равнима основа и која је нормална на њих.
Обртно тело је геометријско тело које настаје обртањем произвољне равне фигуре око осе $s$.
Прав ваљак је обртно тело које настаје ротацијом правоугаоника око осе која садржи једну његову страницу.
$B=r^2\pi$
$M=2r\pi \cdot H$
$P=2B+M \Rightarrow P=2r^2\pi+2r\pi H=2r\pi (r+H)$
$V=B \cdot H \Rightarrow V=r^2\pi H$
Осни пресек ваљка:
$P_{op}=2r \cdot H$
Купа
Купа је део простора ограничен кружном конусном површи и кругом.
Права купа је купа чије су све изводнице ( $s$ ) међусобно једнаке, заклапају подударне углове са равни основе и чије подножје висине пада у центар кружнице која се налази у бази, док код косе купе висина не пада у центар базе.
Висина ( Н ) купе је дуж која из врха купе пада нормално на раван основе. Код праве купе подножје висине је у центру кружнице која се налази у бази, док код косе није.
Права купа је обртно тело које настаје ротацијом правоуглог троугла око осе која садржи једну његову катету.
$B=r^2\pi$
$M=rs\pi$
$P=B+M \Rightarrow P=r^2\pi+rs\pi=r\pi (r+s)$
$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}r^2\pi H$
Осни пресек купе:
$P_{op}=\frac{2r \cdot H}{2}=rH$
$s^2=H^2+r^2$
Зарубљена купа
Зарубљена купа је део простора ограничен кружном конусном површи и два круга који су хомотетични у односу на врх конуса.
$r_1$-полупречник доње основе
$r_2$-полупречнок горње основе
$H$-висина зарубљене купе
$s$-изводница зарубљене купе
Зарубљена купа је обртно тело које настаје ротирањем правоуглог трапеза око његовог краћег крака.
$B_1=r_1^2\pi$
$B_2=r_2^2\pi$
$M=s\pi(r_1+r_2)$
$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=r_1^2\pi+r_2^2\pi+s\pi(r_1+r_2)=\pi(r_1^2+r_2^2+s(r_1+r_2))$
$V=\frac{H}{3}(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2) \Rightarrow V=\frac{H\pi}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$
Осни пресек зарубљене купе:
$P_{op}=\frac{2r_1+2r_2}{2} \cdot H=(r_1+r_2)H$
$s^2=H^2+(r_1-r_2)^2$
Лопта и полиедри
Призма уписана у лопту
Да би око призме могли описати лопту потребно је и довољно да призма буде права и да се око њене основе може описати круг.
Око призме описујемо ваљак, па око ваљка лопту!
-Правилна тространа призма уписана у лопту:
у основи је једнакостраничан тругао: $r_o=\frac{2}{3}h_a=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
-Правилна четворострана призма уписана у лопту
у основи је квадрат: $r_o=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
-Правилна шестострана призма уписана у лопту
у основи је правилан шестоугао: $r_o=a$
-Тространа призма која у основи има разностраничан троугао уписана у лопту
у основи је произвољан троугао: $P_{\Delta}=... \quad P_{\Delta}=\frac{abc}{4r_o}$
Пирамида уписана у лопту
Да би се око пирамиде могла описати лопта потребно је и довољно да се око њене основе може описати круг.
Око пирамиде описујемо купу, а затим око купе лопту!
-Правилна четворострана пирамида уписана у лопту
$r_o$- полупречник кружнице описане око основе
Лопта уписана у призму
Да би се у призму могла уписати лопта потребно је и довољно да се у њен нормално пресек може уписати круг чији је пречник једнак висини призме.
-Лопта уписана у призму која у основи има разностраничан троугао
у основи је разностраничан троугао: $P_{\Delta}=... \quad \quad P_{\Delta}=r_u\cdot s$ где је $s=\frac{a+b+c}{2}$
-Лопта уписана у правилну тространу призму
у основи је једнакостранични троугао: $r_u=\frac{1}{3}h_a=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$
-Лопта уписана у правилну четворострану призму
у основи је квадрат: $r_u=\frac{a}{2}$
'Лопта уписана у правилну шестострану призму
у основи је правилан шестоугао: $r_u=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Лопта уписана у пирамиду
Да би у пирамиду могли уписати лопту потребно је и довољно да нагибни углови бочних страна према равни основе буду једнаки.
-Лопта уписана у правилну четворострану пирамиду
Правилни полиедри
Полиедар је правилан, ако су његове стране правилни многоуглови са истим бројемстраница и ако су у сваком темену састаје исти број ивица.
Постоји тачно пет различитих полиедара.
Ознаке
Нека је $a$ дужина ивице, $d$ број ивица које се састају у једном темену (број ивичних углова са тим теменом), $k$ број страница сваке пљосни (стране многоугла), $s$ број страна, $t$ број темена, а $i$ укупан број ивица полиедра.
Ојлерова формула
$s + t - i = 2$
Важи и
$ks = dt = 2i$.