Паралелограми
Основна својства
- Наспрамне стране су једнаке $a=b, \text{ }c=d$
- наспрамне стране су паралелне $a||b, \text{ }c||d$
- дијагонале се полове тачком пресека
- наспрамни углови су једнаки $\alpha=\gamma, \text{ } \beta=\delta$
Ако важи бар једно од наведених својстава, онда важе и сва остала.
Површина паралелограма: $P=ah_a=bh_b$
Како на основу дефиниције $\sin$ важи да је $\sin \alpha=\frac{h_a}{b} \Rightarrow h_a=b\sin\alpha$, тако имамо да површину можемо израчунати помоћу формуле: $P=ab\sin\alpha.$
Ако применимо косинусну теорему на троуглове $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:
$d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$
$d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\beta$
Како је $\alpha+\beta=180^{\circ}$ следи да је $\cos\beta=\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, имамо:
$d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$
$d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha$
Па уколико саберемо/одузмемо ове једначине, добијамо да за дијагонале и странице важи:
$d_1^2 + d_2^2 = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$
$d_1^2-d_2^2=4ab\cos\alpha$
Правоугаоник
Паралелограм је правоугаоник ако су
- ако су сви углови прави или
- ако су дијагонале једнаке.
Из једног услова следи други.
Важи Питагорина теорема: $a^2+b^2=d^2$
Површина правоугаоника је : $P=a\cdot b$
Полупречник описане кружнице око правоугаоника је $r_o=\frac{d}{2}$
Квадрат
Квадрат је правоугаоник код којег је $a = b$.
Важи Питагорина теорема: $a^2+a^2=d^2$
$2a^2=d^2$
$d=a\sqrt{2}$
$a=\frac{\sqrt{2}}{2}d$
Површинa квадрата је: $P=a^2=\frac{d^2}{2}$
Полупречник описане кружнице око квадрата: $r_o=\frac{d}{2}$
Полупречник уписане кружнице у квадрат: $r_u=\frac{a}{2}$
Ромб
Ромб је паралелограм који има
- све странице једнаке,
- узајамно нормалне дијагонале,
- дијагонале које се полове.
Сваки од ових услова следи из остала два.
Важи Питагорина теорема: $(\frac{d_1}{2})^2+(\frac{d_2}{2})^2=a^2$
Површина $P = ah = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}$
Како на основу дефиниције $\sin$ важи да је $\sin \alpha=\frac{h}{a} \Rightarrow h=a\sin\alpha$, тако имамо да површину ромба можемо израчунати помоћу формуле: $P=a^2\sin\alpha.$
Полупречник уписане кружнице: $r_u=\frac{h}{2}$
Ако применимо косинусну теорему на троуглове $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:
$d_2^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\alpha$
$d_1^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\beta$
Како је $\alpha+\beta=180^{\circ}$ следи да је $\cos\beta=\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, имамо:
$d_2^2=2a^2+-2a^2cos\alpha$
$d_1^2=2a^2+2a^2\cos\alpha$
Па уколико саберемо/одузмемо ове једначине, добијамо да за дијагонале и странице важи:
$d_1^2+d_2^2=4a^2$
$d_1^2-d_2^2=4a^2\cos\alpha$