Деление отрезка в заданном соотношении

Точка $M$ делит отрезок $M_1M_2$ в отношении $m : n$, если $|M_1M| : |MM_2| = m : n$. Её координаты — взвешенные средние координат концов: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$ и $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$. Обратите внимание на порядок: число $m$ стоит при втором конце $M_2$, поэтому при $m < n$ точка $M$ ближе к $M_1$. При $\lambda = \frac{m}{n}$ те же формулы имеют вид $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$ и $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$.

При $m = n$, т. е. $\lambda = 1$, получаем середину отрезка: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$. Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины. Результат легко проверить: расстояния $|M_1M|$ и $|MM_2|$ должны относиться как $m : n$.