Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Елипса

Елипса је геоемтријско место тачака у равни са особином да је збир растојања од две утврђене тачке сталан.

Те фиксне тачке се обележавају са F1{F_1} и F2{F_2} и називају се жиже или фокуси, а збир растојања ма које тачке елипсе до фокуса увек се обележава са 2a2a.

  1. Каноничка једначина: x2a2+y2b2=1\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 где је b2=a2−c2.b^2=a^2-c^2. Параметри aa и bb су дужине велике, односно мале полуосе, а cc представља линеарни ексцентритет елипсе.
  2. Нумерички ексентрицитет је параметар: e=ca=1−b2a2<1e = \frac{c}{a} = \sqrt {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} < 1.
  3. Жиже (фокуси): F1(−c,0), F2(c,0)F_1\left( {-c,0} \right),{\text{ }}F_2\left( {c,0} \right).
  4. Једначине директрисе: x=ae, x=−aex = \frac{a}{e},{\text{ }}x = - \frac{a}{e}.
  5. Фокални параметар: p=b2ap = \frac{{{b^2}}}{a}
  6. Фокални радијуси: r1=a+ex{r_1} = a + ex, r2=a−ex{r_2} = a - ex, r1+r2=2ar_1+r_2=2a.
  7. Тангента у тачки M(x0,y0)M\left( {{x_0},{y_0}} \right): x0xa2+y0yb2=1\frac{{{x_0}x}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}y}}{{{b^2}}} = 1.
  8. Услов да права y=kx+ny = kx + n буде тангента елипсе: a2k2+b2=n2{a^2}{k^2} + {b^2} = {n^2}

 elipsa1

Елипса је скуп тачака равни чији је збир растојања од две сталне тачке, жижа F1F_1 и F2F_2, сталан и једнак 2a2a. Кад је центар у координатном почетку, а жиже на оси xx, каноничка једначина гласи x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, где је aa велика, а bb мала полуоса.

Жиже су у тачкама F1(−c,0)F_1(-c, 0) и F2(c,0)F_2(c, 0), при чему је c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2. Ексцентрицитет e=cae = \frac{c}{a} је мањи од 1: што је ближи нули, елипса је округлија. Растојања тачке (x,y)(x, y) елипсе од жижа су r1=a+exr_1 = a + ex и r2=a−exr_2 = a - ex, а тангента у тачки (x0,y0)(x_0, y_0) је x0xa2+y0yb2=1\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1. Честа грешка је да се cc рачуна као код хиперболе: код елипсе се одузима, c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2.

−6−4−2246−3−1130xyr₁r₂F₁F₂M
5 m
3 m
3
c
4 m
r₁
7,4 m
r₂
2,6 m
r₁ + r₂
10 m
Померајте тачку MM по горњем луку: растојања r1r_1 и r2r_2 од жижа се мењају, а њихов збир је увек 2a2a. Кад се bb приближи aa, жиже се спајају у центру и елипса постаје кружница.

Планете и сателити се крећу по елипсама са Сунцем, односно Земљом у једној жижи, па се њихове путање рачунају овим формулама. Баштовани и столари елипсу цртају канапом везаним за два ексера у жижама.

Леја у облику елипсе

Баштован у Сомбору прави цветну леју у облику елипсе, дугачку 10 m и широку 6 m. Ивицу црта канапом: крајеве веже за два кочића у жижама, затегне канап штапом и обиђе њиме око кочића. Колико далеко од средине леје треба да забије кочиће и колико дугачак канап му треба?

Решење

  1. Дужина и ширина леје су осе елипсе: 2a=102a = 10 и 2b=62b = 6, па је a=5a = 5 m и b=3b = 3 m, а ивица је x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1.
  2. Жиже: c2=a2−b2=25−9=16c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16, па је c=4c = 4 m. Кочићи иду у F1(−4,0)F_1(-4, 0) и F2(4,0)F_2(4, 0).
  3. За сваку тачку ивице збир растојања до кочића је 2a=102a = 10 m, па канап између кочића мора бити дугачак 10 m.
  4. Провера на крају мале осе, у тачки (0,3)(0, 3): до сваког кочића је 42+32=5\sqrt{4^2 + 3^2} = 5 m, а 5+5=105 + 5 = 10.

Одговор: Кочиће треба забити 4 m лево и десно од средине леје, а канап треба да буде дугачак 10 m.

Задатак за вежбу

Елипса има полуосе a=13a = 13 и b=5b = 5. Одредите њене жиже, ексцентрицитет и збир растојања ма које њене тачке од жижа.

Прикажи решење

c=169−25=12c = \sqrt{169 - 25} = 12, па су жиже F1(−12,0)F_1(-12, 0) и F2(12,0)F_2(12, 0). Ексцентрицитет је e=1213≈0,92e = \frac{12}{13} \approx 0{,}92, а збир растојања је 2a=262a = 26.