Монотоност и конвексност функција

Монотоност

Функција $f$ , диференцијабилна на $\left[ {a,b} \right]$ , расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када је $f'\left( x \right) \geqslant 0{\text{ }}\left( {f'\left( x \right) \leqslant 0} \right)$ за све $x \in \left( {a,b} \right)$ .

Ако при том не постоји интервал $\left( {\alpha ,\beta } \right) \subset \left( {a,b} \right)$ , таква да је $f'\left( x \right) = 0,{\text{ }}x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ , онда функција $f$ строго расте (опада).

Конвексност и конкавност

Нека је $f$ диференцијабилна функција на $\left( {a,b} \right)$ .

Каже се да је $f$ конвексна, односно строго конвексна $\left( {a,b} \right)$ , ако за свако ${x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right),{\text{ }}{x_1} \ne {x_2}$ важи

$f\left( {{x_2}} \right) \geqslant f\left( {{x_1}} \right) + f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right),$

односно

$f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right).$

Нека је $f$ диференцијабилна функција на $\left( {a,b} \right)$ . Каже се да је она конкавна, односно строго конкавна на $\left( {a,b} \right)$ ако за свако ${x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right),{\text{ }}{x_1} \ne {x_2}$ важи

$f\left( {{x_2}} \right) \leqslant f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right),$

односно

$f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right).$

Критеријуми конвексности

Функција која је диференцијабилна на $\left( {a,b} \right)$ је конвексна (конкавна) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када $f'\left( x \right)$ расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$ . Функција $f$ је строго конвексна (конкавна) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када $f'$ строго расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$ .
Двапут диференцијабилна функција $f$ је конвексна (конкавна) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када је $f''\left( x \right) \geqslant 0{\text{ }}\left( {f''\left( x \right) \leqslant 0} \right)$ за $x \in \left( {a,b} \right)$ .

Диференцијабилна функција расте на интервалу ако је $f'(x) \ge 0$ , а опада ако је $f'(x) \le 0$ у свакој његовој тачки. Ако извод није једнак нули ни на једном подинтервалу, монотоност је строга. Знак извода се чита из табеле: нуле извода деле домен на интервале, а на сваком је довољно проверити знак у једној тачки.

Функција је конвексна ако јој график лежи изнад сваке своје тангенте, а конкавна ако лежи испод. Двапут диференцијабилна функција је конвексна где је $f''(x) \ge 0$ , а конкавна где је $f''(x) \le 0$ ; код конвексне функције нагиб $f'$ расте. Не мешајте ове појмове: функција може да расте и да буде конкавна, као $\sqrt x$ .

Километар1 km

Висина h: 225 m
Нагиб h′: 45 m/km
h″: 30

Нагиб тангенте је

h'(x)

. До 2. km нагиб расте, јер је крива конвексна, а после опада, јер је конкавна. На 4. km нагиб је нула: то је врх. На спусту нагиб и даље опада, па је спуст све стрмији.

Планери бициклистичких и планинарских рута из профила висине читају где пут иде узбрдо и где се нагиб повећава, а економисти из конвексности криве трошкова виде да ли сваки следећи производ кошта све више.

Профил брдске етапе

Висина пута на брдској етапи бициклистичке трке, у метрима, на $x$ километара од старта је $h(x) = -5x^3 + 30x^2 + 200$ , за $0 \le x \le 5$ . Где пут иде узбрдо, а где низбрдо? На ком делу успон постаје све стрмији, а где се ублажава?

Решење

$h'(x) = -15x^2 + 60x = -15x(x - 4)$ . За $0 < x < 4$ је $h'(x) > 0$ , па пут иде узбрдо, а за $4 < x \le 5$ је $h'(x) < 0$ , па иде низбрдо. Врх је на 4. km, на висини $h(4) = 360$ m.
$h''(x) = -30x + 60$ . За $x < 2$ је $h''(x) > 0$ : функција је конвексна, нагиб $h'$ расте и успон је све стрмији.
За $x > 2$ је $h''(x) < 0$ : функција је конкавна и нагиб опада, па се успон ублажава до врха, а после врха спуст постаје све стрмији.
Најстрмији део успона је на 2. km, где је $h'(2) = -60 + 120 = 60$ метара по километру, тј. нагиб од 6%.

Одговор: Пут иде узбрдо до 4. km, до врха на 360 m, па низбрдо; успон је све стрмији до 2. km, где је нагиб највећи (6%), а после се ублажава.

Задатак за вежбу

Одредите интервале монотоности и конвексности функције $f(x) = x^3 - 3x$ .

Прикажи решење

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ , па $f$ расте на $(-\infty, -1)$ и на $(1, \infty)$ , а опада на $(-1, 1)$ . $f''(x) = 6x$ , па је $f$ конкавна за $x < 0$ , а конвексна за $x > 0$ .

Монотоност и конвексност функција