Реалне фукнције реалне променљиве

Екстремуми функције

Максимум

Функција $f:A \to B$ има локални максимум у тачки ${x_0} \in A$, ако постоји околина $U\left( {{x_0}} \right) \subset A$, таква да важи

$f\left( x \right) \leqslant f\left( {{x_0}} \right),{\text{   }}x \in U\left( {{x_0}} \right)$.

Ако је

$f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right),{\text{   }}x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$,

Онда у тачки ${x_0}$ функција $f$ има строги локални максимум.

 

Минимум

Функције $f:A \to B$ има локални минимум у тачки ${x_0} \in A$, ако постоји околина $U\left( {{x_0}} \right) \subset A$, таква да важи

$f\left( x \right) \geqslant f\left( {{x_0}} \right),{\text{   }}x \in U\left( {{x_0}} \right)$.

Ако је

$f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right),{\text{    }}x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$,

онда у тачки ${x_0}$ функција $f$ има строги локални минимум.

Максимум и минимум се заједно називају екстремуми.

ekstremumi funkcija

Локални максимум је највећа, а локални минимум мајмања вредност функције у околини тачке ${x_0}$, а не на целом скупу $A$. За највећу (најмању) вредност функције на целом скупу $A$ каже се да је апсолутни максимум (минимум) или навећа (најмања) вредност. 

Функција $f:A \to B$ има екстремум у тачки ${x_0} \in A$ ако и само ако у тој тачки мења монотоност, односно прелази из раста у опадање (максимум) или обрнуто, из опадања у раст (минимум).