Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Нула функције

Број x0∈D(f){x_0} \in D\left( f \right) је нула функције ff ако и само ако је f(x0)=0f\left( {{x_0}} \right) = 0.

Тачка (x0,f(x0))\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right) је тачка пресека функције ff и осе OxOx.

Број x0x_0 је нула функције ff ако припада домену и ако је f(x0)=0f(x_0) = 0. На графику је то апсциса тачке (x0,0)(x_0, 0) у којој график сече или додирује осу OxOx. Нуле налазите решавањем једначине f(x)=0f(x) = 0, а затим свако решење проверите у домену.

Линеарна функција y=ax+by = ax + b има нулу x=−bax = -\frac{b}{a}, а квадратна две, једну или ниједну реалну нулу, у зависности од дискриминанте. Код f(x)=x2−4x−2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} решење x=2x = 2 није у домену, па је једина нула x=−2x = -2. Не мешајте нулу функције са вредношћу f(0)f(0): то је пресек графика са осом OyOy.

−22410203040500t (s)h (m)ht₁t₂
10 m/s
15 m
Нула функције t₁
3 s
Решење ван домена t₂
−1 s
Највећа висина
20 m
Лопта пада на тло у нули функције hh за t>0t > 0. Друго решење једначине h(t)=0h(t) = 0 лежи лево, на испрекиданом делу, ван домена t⩾0t \geqslant 0, па није нула ове функције.

Нула функције одговара на питања „када“ и „колико“: кад лопта падне на тло (висина је нула), колико производа треба продати да добит више не буде негативна или кад ће се резервоар испразнити.

Лопта са балкона

Са балкона на висини од 15 m дечак баци лопту увис брзином од 10 m/s. Висина лопте после tt секунди је h(t)=−5t2+10t+15h(t) = -5t^2 + 10t + 15 метара (убрзање Земљине теже заокружено је на 10 m/s²). После колико секунди лопта падне на тло?

Решење

  1. Лопта је на тлу кад је h(t)=0h(t) = 0: −5t2+10t+15=0-5t^2 + 10t + 15 = 0, односно t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0.
  2. Растављањем (t−3)(t+1)=0(t - 3)(t + 1) = 0 добијамо t1=3t_1 = 3 и t2=−1t_2 = -1.
  3. Време се мери од тренутка бацања, па је домен t⩾0t \geqslant 0. Решење t2=−1t_2 = -1 није у домену и није нула ове функције.
  4. Провера: h(3)=−45+30+15=0h(3) = -45 + 30 + 15 = 0.

Одговор: Лопта падне на тло 3 секунде после бацања.

Задатак за вежбу

Одредите нуле функције f(x)=x2−9x+3f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3} и вредност f(0)f(0).

Прикажи решење

x2−9=0x^2 - 9 = 0 даје x=±3x = \pm 3, али x=−3x = -3 није у домену, па је једина нула x=3x = 3. Вредност f(0)=−3f(0) = -3 је пресек са осом OyOy, а не нула.