Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Превојна тачка

Нека f:A→Bf:A \to B. Тачка x0∈A{x_0} \in A је превојна тачка функције ff ако постоји ε>0\varepsilon > 0 такво да (x0−ε,x0+ε)⊂A\left( {{x_0} - \varepsilon ,{x_0} + \varepsilon } \right) \subset A и ff је строго конвексна на (x0−ε,x0)\left( {{x_0} - \varepsilon ,{x_0}} \right) и строго конкавна на (x0,x0+ε)\left( {{x_0},{x_0} + \varepsilon } \right), или обрнуто.

Тачка x0x_0 је превојна тачка функције ff ако постоји ε>0\varepsilon > 0 такво да је ff строго конвексна на (x0−ε,x0)(x_0 - \varepsilon, x_0) и строго конкавна на (x0,x0+ε)(x_0, x_0 + \varepsilon), или обрнуто. У њој график мења облик, а тангента сече график: са једне стране тачке је изнад њега, са друге испод.

Ако ff има други извод, превојне тачке тражите међу решењима једначине f′′(x)=0f''(x) = 0, па проверите да ли f′′f'' ту мења знак. Тако x3x^3 има превојну тачку у нули, а x4x^4 нема, иако је и за њу f′′(0)=0f''(0) = 0. Превојна тачка мора бити у домену: ако f′′f'' мења знак у тачки ван домена, превоја нема.

1020304050800120016002000xTTAP
12
T′(x₀)
22,72 хиљ. дин.
T″(x₀)
−1,08
Лево од x=30x = 30 график је конкаван, тангента је изнад њега, а трошак још једне столице T′(x0)T'(x_0) опада. Десно је график конвексан, тангента је испод њега, а T′(x0)T'(x_0) расте. У превојној тачки PP тангента сече график и T′′T'' мења знак.

Превојна тачка показује тренутак кад раст мења карактер: кад ширење вести почиње да успорава или кад трошак сваког следећег произведеног комада престаје да пада и почиње да расте.

Трошкови радионице

Столарска радионица месечно направи xx столица. Укупан месечни трошак је T(x)=0,01x3−0,9x2+40x+600T(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}9x^2 + 40x + 600 хиљада динара. Нађите превојну тачку функције TT и објасните шта она значи за радионицу.

Решење

  1. T′(x)=0,03x2−1,8x+40T'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}8x + 40 је приближно трошак још једне столице, а T′′(x)=0,06x−1,8T''(x) = 0{,}06x - 1{,}8.
  2. T′′(x)=0T''(x) = 0 за x=30x = 30. За x<30x < 30 је T′′(x)<0T''(x) < 0 (конкавна), а за x>30x > 30 је T′′(x)>0T''(x) > 0 (конвексна), па је x=30x = 30 превојна тачка.
  3. T(30)=270−810+1200+600=1260T(30) = 270 - 810 + 1200 + 600 = 1260, дакле превојна тачка графика је (30,1260)(30, 1260).
  4. До 30 столица свака следећа столица је јефтинија, а после тога скупља. Најјефтинија је баш у превоју: T′(30)=27−54+40=13T'(30) = 27 - 54 + 40 = 13 хиљада динара.

Одговор: Превојна тачка је (30,1260)(30, 1260): при 30 столица месечно трошак једне додатне столице је најмањи, око 13.000 динара, а после тога трошкови расту све брже.

Задатак за вежбу

Одредите превојне тачке функције f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2.

Прикажи решење

f′′(x)=12x2−12=0f''(x) = 12x^2 - 12 = 0 за x=±1x = \pm 1. Други извод ту мења знак (позитиван је за ∣x∣>1|x| > 1, негативан за ∣x∣<1|x| < 1), па су превојне тачке (−1,−5)(-1, -5) и (1,−5)(1, -5).