Монотоност функције

Функција $f$ је растућа на скупу $A$ ако за свако ${x_1},{x_2} \in A$ важи

${x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ ,

a опадајући на скупу $A$ ако важи

${x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Ако из ${x_1} < {x_2}$ следи $f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right)$ , функција $f$ је неопадајућа,

а ако из ${x_1} < {x_2}$ следи $f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right)$ , функција је нерастућа.

Функција $f$ је строго монотона на скупу $A \subset D\left( f \right)$ , ако је на том путу растућа или опадајућа.

Функција $f$ је монотона на скупу $A \subset D\left( f \right)$ , ако је на том скупу нерастућа или неопадајућа.

Функција $f$ је растућа на скупу $A$ ако за свака два броја $x_1 < x_2$ из $A$ важи $f(x_1) < f(x_2)$ , а опадајућа ако важи $f(x_1) > f(x_2)$ . Са слабим неједнакостима, $f(x_1) \leqslant f(x_2)$ и $f(x_1) \geqslant f(x_2)$ , функција је неопадајућа, односно нерастућа. Растуће и опадајуће функције су строго монотоне.

Монотоност доказујете тако што за произвољне $x_1 < x_2$ одредите знак разлике $f(x_2) - f(x_1)$ . Ако функција има извод, из $f'(x) > 0$ на интервалу следи да ту расте. Монотоност се увек односи на неки скуп: $\frac{1}{x}$ опада на $(-\infty, 0)$ и на $(0, \infty)$ , али не на њиховој унији, јер је $f(-1) < f(1)$ .

x₁−0,8

x₂0,6

x₂ − x₁: 1,4
f(x₂) − f(x₁): −3,472

Држите

x_1 < x_2

и пратите знак разлике

f(x_2) - f(x_1)

. Кад су обе тачке лево од

x = -1

или десно од

x = 1

, разлика је позитивна и функција ту расте. Кад су обе на

(-1, 1)

, разлика је негативна и функција опада. Зато

f

није монотона на целом

\mathbb{R}

, него само на тим интервалима.

Ценовници и тарифе су по правилу неопадајуће функције: дуже паркирање није јефтиније од краћег, а већа потрошња струје не кошта мање од мање потрошње.

Цена паркинга

Гаража наплаћује 120 динара за први започети сат и по 100 динара за сваки следећи започети сат. За боравак од $t$ сати, $0 < t \leqslant 8$ , цена је $c(t) = 120 + 100(\lceil t \rceil - 1)$ , где је $\lceil t \rceil$ најмањи цео број који није мањи од $t$ . Да ли је функција $c$ растућа? Колико кошта 3 сата и 20 минута паркирања?

Решење

За $t_1 = 1{,}2$ и $t_2 = 1{,}8$ је $t_1 < t_2$ , а $c(t_1) = c(t_2) = 120 + 100 = 220$ . Услов $c(t_1) < c(t_2)$ није испуњен, па $c$ није растућа.
Ако је $t_1 < t_2$ , онда је $\lceil t_1 \rceil \leqslant \lceil t_2 \rceil$ , па је $c(t_1) \leqslant c(t_2)$ : цена никад не опада, функција је неопадајућа.
3 сата и 20 минута је $t = 3\frac{1}{3}$ , па је $\lceil t \rceil = 4$ и $c = 120 + 100 \cdot 3 = 420$ динара.

Одговор: Функција цене је неопадајућа, али није растућа, а 3 сата и 20 минута паркирања кошта 420 динара.

Задатак за вежбу

Покажите по дефиницији да је $f(x) = \frac{1}{x}$ опадајућа на $(0, \infty)$ , па упоредите $f(-1)$ и $f(1)$ .

Прикажи решење

За $0 < x_1 < x_2$ је $f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$ , па $f$ опада. Међутим, $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$ , па $f$ не опада на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Монотоност функције

Укратко

Померите тачке A и B

Пример из живота

Цена паркинга

Решење

Задатак за вежбу