Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Конвексност и конкавност

Функција f:A→Bf:A \to B је конвексна на скупу AA ако за сваке две тачке x1,x2∈A{x_1},{x_2} \in A и свако α∈[0,1]\alpha \in \left[ {0,1} \right] важи

f(αx1+(1−α)x2)⩽αf(x1)+(1−α)f(x2)f\left( {\alpha {x_1} + \left( {1 - \alpha } \right){x_2}} \right) \leqslant \alpha f\left( {{x_1}} \right) + \left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_2}} \right).

Ако важи строга неједнакост, онда је функција ff строго конвексна.

konveksna funkcija

Функција f:A→Bf:A \to B је конкавна на скупу AA ако за сваке две тачке x1,x2∈A{x_1},{x_2} \in A и свако α∈[0,1]\alpha \in \left[ {0,1} \right] важи

f(αx1+(1−α)x2)⩾αf(x1)+(1−α)f(x2)f\left( {\alpha {x_1} + \left( {1 - \alpha } \right){x_2}} \right) \geqslant \alpha f\left( {{x_1}} \right) + \left( {1 - \alpha } \right)f\left( {{x_2}} \right).

Ако важи строга неједнакост, онда је ff строго конкавна.

konkavna funkcija

Функција ff је конвексна на скупу AA ако за свака два броја x1,x2∈Ax_1, x_2 \in A и свако α∈[0,1]\alpha \in [0, 1] важи f(αx1+(1−α)x2)⩽αf(x1)+(1−α)f(x2)f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2). Геометријски, тетива између тачака (x1,f(x1))(x_1, f(x_1)) и (x2,f(x2))(x_2, f(x_2)) лежи изнад графика, као код x2x^2. Код конкавне функције неједнакост је обрнута и тетива је испод графика, као код x\sqrt{x} и ln⁡x\ln x.

Са строгим неједнакостима функција је строго конвексна, односно строго конкавна. Ако ff има други извод, из f′′(x)>0f''(x) > 0 на интервалу следи конвексност, а из f′′(x)<0f''(x) < 0 конкавност. За α=12\alpha = \frac{1}{2} конвексност значи f(x1+x22)⩽f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leqslant \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}. Строго конвексна функција има највише једну тачку минимума.

246824680xyfABCD
1
7
0,5
Висина тачке C
3,125
Висина тачке D
2
Разлика C − D
1,125
Тачка CC на тетиви има висину αf(x1)+(1−α)f(x2)\alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2), а тачка DD на графику f(αx1+(1−α)x2)f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2). Код конвексне функције CC је изнад DD за сваки избор тачака. Укључите конкавну функцију: тетива пада испод графика.

Конкавна функција описује опадајуће приносе: сваки следећи килограм ђубрива повећа принос мање од претходног. Конвексност се користи у оптимизацији, јер је код конвексне функције сваки локални минимум уједно и најмања вредност.

Ђубриво на две њиве

Пољопривредник код Сомбора има две њиве од по 1 ha и 200 kg ђубрива. У упрошћеном моделу принос њиве на коју се унесе xx kg ђубрива је Y(x)=3+0,4xY(x) = 3 + 0{,}4\sqrt{x} тона. Да ли је боље ђубриво поделити на пола или ставити 50 kg на једну, а 150 kg на другу њиву?

Решење

  1. Функција YY је конкавна за x>0x > 0, јер је Y′′(x)=−0,1x−32<0Y''(x) = -0{,}1x^{-\frac{3}{2}} < 0.
  2. Код конкавне функције за α=12\alpha = \frac{1}{2} важи Y(x1+x22)⩾Y(x1)+Y(x2)2Y\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \geqslant \frac{Y(x_1) + Y(x_2)}{2}, па равномерна подела даје већи укупан принос.
  3. Подела на пола: 2⋅Y(100)=2(3+0,4⋅10)=142 \cdot Y(100) = 2(3 + 0{,}4 \cdot 10) = 14 t.
  4. Подела 50 и 150 kg: Y(50)+Y(150)≈5,83+7,90=13,73Y(50) + Y(150) \approx 5{,}83 + 7{,}90 = 13{,}73 t.

Одговор: Боље је ђубриво поделити на пола: укупан принос је тада 14 t, око 270 kg више него при подели на 50 и 150 kg.

Задатак за вежбу

Проверите неједнакост из дефиниције за f(x)=x2f(x) = x^2, x1=1x_1 = 1, x2=5x_2 = 5 и α=14\alpha = \frac{1}{4}. Каква је функција?

Прикажи решење

αx1+(1−α)x2=14+154=4\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2 = \frac{1}{4} + \frac{15}{4} = 4, па је лева страна f(4)=16f(4) = 16, а десна 14⋅1+34⋅25=19\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{3}{4} \cdot 25 = 19. Важи 16⩽1916 \leqslant 19, као код конвексне функције.