Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Парност, непарност и периодичност функције

Функција ff је парна ако важи

f(x)=f(−x)f\left( x \right) = f\left( { - x} \right), x∈D(f)x \in D\left( f \right),

a непарна ако је 

f(x)=−f(−x)f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right), x∈D(f)x \in D\left( f \right)

График парне функције је осно симетричан у односу на осу OyOy, а график непарне функције је централно симетричан у односу на координантни почетак.

Функција f:D(f)→Rf:D\left( f \right) \to \mathbb{R} је периодичан са периодом ω≠0\omega \ne 0 ако је 

f(x+ω)=f(x)f\left( {x + \omega } \right) = f\left( x \right), x∈D(f)x \in D\left( f \right).

Најмање позитивно ω\omega које задовољава дати услов назива се основни период.

Функција ff је парна ако је f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), а непарна ако је f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), за свако xx из домена, који мора бити симетричан у односу на нулу. График парне функције је симетричан у односу на осу OyOy, као код x2x^2 и cos⁡x\cos x, а непарне у односу на координатни почетак, као код x3x^3 и sin⁡x\sin x. Парност проверавате заменом xx са −x-x. Већина функција није ни парна ни непарна.

Функција је периодична са периодом ω≠0\omega \ne 0 ако је f(x+ω)=f(x)f(x + \omega) = f(x), а најмањи позитиван период је основни. Основни период функција sin⁡x\sin x и cos⁡x\cos x је 2π2\pi, функција tg⁡x\operatorname{tg} x и ctg⁡x\operatorname{ctg} x је π\pi, а функције sin⁡(kx)\sin(kx) је 2π∣k∣\frac{2\pi}{|k|}.

−5−3−1135−2−1120xyPP'
0
1,5
2
1,2
f(x₀)
1,013
f(−x₀)
−1,013
Основни период 2π/k
3,142
Са B=0B = 0 остаје само косинус и f(−x0)=f(x0)f(-x_0) = f(x_0): функција је парна. Са A=0A = 0 остаје синус и f(−x0)=−f(x0)f(-x_0) = -f(x_0): функција је непарна. Кад су оба броја различита од нуле, функција није ни парна ни непарна. Зелена тачка је за основни период 2πk\frac{2\pi}{k} десно од PP и увек је на истој висини као PP.

Периодичне функције описују наизменичну струју у мрежи, плиму и осеку, откуцаје срца и смену годишњих доба.

Напон у утичници

Напон у кућној утичници мења се по закону u(t)=325sin⁡(100πt)u(t) = 325 \sin(100\pi t) волти, где је tt време у секундама. Одредите основни период напона, па израчунајте u(0,005)u(0{,}005), u(0,025)u(0{,}025) и u(−0,005)u(-0{,}005).

Решење

  1. Основни период функције sin⁡(kt)\sin(kt) је 2πk\frac{2\pi}{k}, па је T=2π100π=0,02T = \frac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02 s: напон се понавља 50 пута у секунди.
  2. u(0,005)=325sin⁡(100π⋅0,005)=325sin⁡π2=325u(0{,}005) = 325 \sin\left(100\pi \cdot 0{,}005\right) = 325 \sin\frac{\pi}{2} = 325 V.
  3. Пошто је 0,025=0,005+0,020{,}025 = 0{,}005 + 0{,}02, периодичност даје u(0,025)=u(0,005)=325u(0{,}025) = u(0{,}005) = 325 V.
  4. Синус је непарна функција, па је и uu непарна: u(−0,005)=−u(0,005)=−325u(-0{,}005) = -u(0{,}005) = -325 V.

Одговор: Основни период је 0,02 s, u(0,005)=u(0,025)=325u(0{,}005) = u(0{,}025) = 325 V, а u(−0,005)=−325u(-0{,}005) = -325 V.

Задатак за вежбу

Испитајте парност функција f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x и g(x)=x2+xg(x) = x^2 + x и одредите основни период функције h(x)=cos⁡3xh(x) = \cos 3x.

Прикажи решење

f(−x)=−x3+2x=−f(x)f(-x) = -x^3 + 2x = -f(x), па је ff непарна. g(1)=2g(1) = 2, а g(−1)=0g(-1) = 0, па gg није ни парна ни непарна. Основни период функције hh је 2π3\frac{2\pi}{3}.