Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Збир, производ и количник функција

Збир, разлика, производ и количник две функције и домен резултујуће функције дефинишу се на следећи начин:

(f±g)(x)=f(x)±g(x)\left( {f \pm g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) \pm g\left( x \right), D(f±g)=D(f)∩D(g)\quad D\left( {f \pm g} \right) = D\left( f \right) \cap D\left( g \right), 

(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)\left( {f \cdot g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right), D(f⋅g)=D(f)∩D(g)\quad D\left( {f \cdot g} \right) = D\left( f \right) \cap D\left( g \right),

(fg)(x)=f(x)g(x)\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}, D(fg)=D(f)∩(D(g)\{x:g(x)=0}).\quad D\left( {\frac{f}{g}} \right) = D\left( f \right) \cap (D\left( g \right)\backslash \left\{ {x:g\left( x \right) = 0} \right\}).

Збир, разлику, производ и количник функција ff и gg рачунате тачку по тачку: (f±g)(x)=f(x)±g(x)(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x), (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) и (fg)(x)=f(x)g(x)\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}. Нова функција постоји само тамо где постоје обе, па је D(f±g)=D(f⋅g)=D(f)∩D(g)D(f \pm g) = D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g).

Код количника из пресека избацујете и нуле имениоца: D(fg)=D(f)∩(D(g)∖{x:g(x)=0})D\left(\frac{f}{g}\right) = D(f) \cap \left(D(g) \setminus \{x : g(x) = 0\}\right). На пример, за f(x)=xf(x) = \sqrt{x} и g(x)=x−1g(x) = x - 1 је D(fg)=[0,1)∪(1,∞)D\left(\frac{f}{g}\right) = [0, 1) \cup (1, \infty). Честа грешка је да се домен одреди тек после скраћивања, па се изгуби нека забрањена тачка: количник функција x2−1x^2 - 1 и x−1x - 1 после скраћивања изгледа као x+1x + 1, али у x=1x = 1 није дефинисан. Зато домен увек одредите из почетних функција, пре сређивања израза, а тек онда рачунајте вредности.

−11357−4−22460xyfgf + g
3
1
f(x₀)
1,732
g(x₀)
−2
(f + g)(x₀)
−0,268
(f / g)(x₀)
−0,866
Збир постоји само где постоје обе функције, од x=−2x = -2 надесно. Количник има прекид у нули функције gg, у x=cx = c, где му график бежи у бесконачност. Померите x0x_0 на cc и вредност (fg)(x0)\left(\frac{f}{g}\right)(x_0) нестаје.

У економији се добит рачуна као разлика функција прихода и трошка, приход као производ цене и количине, а просечан трошак по комаду као количник укупног трошка и броја комада.

Лимунада на вашару

Ученици на школском вашару продају лимунаду по 150 динара за чашу. Сировине за једну чашу коштају 40 динара, а најам тезге и опреме 3000 динара. Напишите функцију добити и функцију просечног трошка по чаши, са доменом. Колико чаша треба продати да не буде губитка и колико у просеку кошта чаша кад се прода 60 чаша?

Решење

  1. Приход је P(x)=150xP(x) = 150x, а трошак T(x)=3000+40xT(x) = 3000 + 40x, где је xx број чаша. Добит је разлика: Z(x)=(P−T)(x)=150x−3000−40x=110x−3000Z(x) = (P - T)(x) = 150x - 3000 - 40x = 110x - 3000.
  2. Без губитка значи 110x−3000⩾0110x - 3000 \geqslant 0, тј. x⩾27,27…x \geqslant 27{,}27\ldots Број чаша је цео, па их треба најмање 28.
  3. Просечан трошак је количник p(x)=T(x)x=3000x+40p(x) = \frac{T(x)}{x} = \frac{3000}{x} + 40. Именилац је нула за x=0x = 0, па је домен x>0x > 0.
  4. p(60)=300060+40=90p(60) = \frac{3000}{60} + 40 = 90 динара.

Одговор: Треба продати најмање 28 чаша, а при 60 продатих чаша једна чаша у просеку кошта 90 динара.

Задатак за вежбу

Дате су функције f(x)=x+2f(x) = \sqrt{x + 2} и g(x)=x−3g(x) = x - 3. Одредите (f+g)(x)(f + g)(x) и (fg)(x)\left(\frac{f}{g}\right)(x) са доменима и израчунајте (fg)(7)\left(\frac{f}{g}\right)(7).

Прикажи решење

(f+g)(x)=x+2+x−3(f + g)(x) = \sqrt{x + 2} + x - 3, D(f+g)=[−2,∞)D(f + g) = [-2, \infty). (fg)(x)=x+2x−3\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}, D(fg)=[−2,3)∪(3,∞)D\left(\frac{f}{g}\right) = [-2, 3) \cup (3, \infty), а (fg)(7)=34\left(\frac{f}{g}\right)(7) = \frac{3}{4}.