Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Сложена функција

Сложена функција FF, функција ff и gg, дефинисана је са 

y=F(x)=f(g(x))y = F\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right), D(F)={x∈D(f):f(x)∈D(g)}D\left( F \right) = \left\{ {x \in D\left( f \right):f\left( x \right) \in D\left( g \right)} \right\}.

Сложена функција F(x)=f(g(x))F(x) = f(g(x)), у ознаци f∘gf \circ g, настаје кад резултат функције gg постане улаз функције ff: прво рачунате унутрашњу функцију gg, па спољашњу ff. Домен чине они x∈D(g)x \in D(g) за које је g(x)∈D(f)g(x) \in D(f). Може се сложити и више функција, на пример f(g(h(x)))f(g(h(x))), а рачуна се увек изнутра ка споља.

На пример, за f(x)=xf(x) = \sqrt{x} и g(x)=x−4g(x) = x - 4 је f(g(x))=x−4f(g(x)) = \sqrt{x - 4}, са доменом [4,∞)[4, \infty), а g(f(x))=x−4g(f(x)) = \sqrt{x} - 4, са доменом [0,∞)[0, \infty). Редослед је, дакле, важан: f∘gf \circ g и g∘fg \circ f су по правилу различите функције. Домен не читајте из сређене формуле: за f(x)=x2f(x) = x^2 и g(x)=xg(x) = \sqrt{x} је f(g(x))=xf(g(x)) = x, али само за x⩾0x \geqslant 0.

13579−3−1130xyff(g(x))g(f(x))
2
6
g(x₀)
4
f(g(x₀))
2
g(f(x₀))
0,449
f(g(x))=x−cf(g(x)) = \sqrt{x - c} је график корена померен удесно за cc, а g(f(x))=x−cg(f(x)) = \sqrt{x} - c исти график спуштен за cc. Кад је x0<cx_0 < c, унутрашња вредност g(x0)g(x_0) је негативна, па f(g(x0))f(g(x_0)) не постоји.

Сложене функције настају кад се поступци надовезују: попуст па ПДВ на цену, замена валуте па провизија, или површина мрље која зависи од полупречника, а полупречник од времена.

Купон и ПДВ

Цена јакне без ПДВ-а је 4000 динара. Купон умањује цену за 500 динара, а ПДВ од 20% множи цену са 1,21{,}2. Колико плаћате ако се купон одбија пре обрачуна ПДВ-а, а колико ако се одбија после?

Решење

  1. Купон је функција g(x)=x−500g(x) = x - 500, а ПДВ функција f(x)=1,2xf(x) = 1{,}2x.
  2. Купон пре ПДВ-а: f(g(x))=1,2(x−500)=1,2x−600f(g(x)) = 1{,}2(x - 500) = 1{,}2x - 600, па је f(g(4000))=4800−600=4200f(g(4000)) = 4800 - 600 = 4200.
  3. Купон после ПДВ-а: g(f(x))=1,2x−500g(f(x)) = 1{,}2x - 500, па је g(f(4000))=4800−500=4300g(f(4000)) = 4800 - 500 = 4300.
  4. Разлика од 100 динара је ПДВ на сам купон: 0,2⋅500=1000{,}2 \cdot 500 = 100.

Одговор: Ако се купон одбија пре ПДВ-а, јакна кошта 4200 динара, а ако се одбија после, 4300 динара.

Задатак за вежбу

За f(x)=xf(x) = \sqrt{x} и g(x)=2x−6g(x) = 2x - 6 одредите f(g(x))f(g(x)) и g(f(x))g(f(x)) са доменима и израчунајте f(g(5))f(g(5)).

Прикажи решење

f(g(x))=2x−6f(g(x)) = \sqrt{2x - 6}, домен из 2x−6⩾02x - 6 \geqslant 0 је [3,∞)[3, \infty). g(f(x))=2x−6g(f(x)) = 2\sqrt{x} - 6, домен [0,∞)[0, \infty). f(g(5))=4=2f(g(5)) = \sqrt{4} = 2.