Екстремуми функције

Максимум

Функција $f:A \to B$ има локални максимум у тачки ${x_0} \in A$ , ако постоји околина $U\left( {{x_0}} \right) \subset A$ , таква да важи

$f\left( x \right) \leqslant f\left( {{x_0}} \right),{\text{ }}x \in U\left( {{x_0}} \right)$ .

Ако је

$f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right),{\text{ }}x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ ,

Онда у тачки ${x_0}$ функција $f$ има строги локални максимум.

Минимум

Функције $f:A \to B$ има локални минимум у тачки ${x_0} \in A$ , ако постоји околина $U\left( {{x_0}} \right) \subset A$ , таква да важи

$f\left( x \right) \geqslant f\left( {{x_0}} \right),{\text{ }}x \in U\left( {{x_0}} \right)$ .

Ако је

$f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right),{\text{ }}x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ ,

онда у тачки ${x_0}$ функција $f$ има строги локални минимум.

Максимум и минимум се заједно називају екстремуми.

Локални максимум је највећа, а локални минимум мајмања вредност функције у околини тачке ${x_0}$ , а не на целом скупу $A$ . За највећу (најмању) вредност функције на целом скупу $A$ каже се да је апсолутни максимум (минимум) или навећа (најмања) вредност.

Функција $f:A \to B$ има екстремум у тачки ${x_0} \in A$ ако и само ако у тој тачки мења монотоност, односно прелази из раста у опадање (максимум) или обрнуто, из опадања у раст (минимум).

Функција $f$ има локални максимум у тачки $x_0$ ако постоји околина $U(x_0)$ у којој је $f(x) \leqslant f(x_0)$ , а локални минимум ако је $f(x) \geqslant f(x_0)$ . Ако неједнакост важи строго за $x \ne x_0$ , екстремум је строг. Локални екстремум је највећа или најмања вредност само у близини тачке, а највећа вредност на целом скупу зове се апсолутни максимум.

Функција има екстремум тамо где мења монотоност: прелаз из раста у опадање даје максимум, а из опадања у раст минимум. Ако $f$ има извод, кандидате тражите међу решењима једначине $f'(x) = 0$ , па проверите промену знака: $x^3$ има $f'(0) = 0$ , а нема екстремум.

Висина кутије x3 cm

V(x): 1728 cm³
V′(x): 288

Док је

V'(x) > 0

, запремина расте, а кад постане

V'(x) < 0

, опада. У

x = 5

тангента је хоризонтална и раст прелази у опадање: то је максимум

M

, уједно и највећа запремина на

(0, 15)

Екстремуми одговарају на питања о највећем и најмањем: највећа запремина кутије од истог картона, најмање материјала за конзерву задате запремине или највећа добит при задатим трошковима.

Кутија од картона

Од квадратног картона странице 30 cm праве се кутије без поклопца: у сваком углу исече се квадрат странице $x$ cm, а ивице се савију навише. За које $x$ кутија има највећу запремину и колика је та запремина?

Решење

Дно је квадрат странице $30 - 2x$ , а висина је $x$ , па је $V(x) = x(30 - 2x)^2$ за $0 < x < 15$ .
$V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$ .
У домену је $V'(x) = 0$ само за $x = 5$ . За $0 < x < 5$ је $V'(x) > 0$ и запремина расте, а за $5 < x < 15$ је $V'(x) < 0$ и опада, па је у $x = 5$ максимум.
$V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000$ cm³.

Одговор: Кутија је највећа кад се у угловима исеку квадрати странице 5 cm, а њена запремина је тада 2000 cm³, односно 2 l.

Задатак за вежбу

Одредите локалне екстремуме функције $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

Прикажи решење

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ . У $x = 0$ извод мења знак са $+$ на $-$ , па је ту максимум $f(0) = 0$ . У $x = 2$ мења знак са $-$ на $+$ , па је ту минимум $f(2) = -4$ .