Реалне фукнције реалне променљиве

Реалне функције реалне промењиве

Нека су $A$ и $B$ подскупови реалних бројева $\mathbb{R}$. Једнозначно пресликавање $f$ скупа $A$ у скуп $B$ назива се реална функција једне реалне промењиве или краће функција.

Скуп $A$ је област дефинисаности функције ( домен ) $f$ и означава се са $D\left( f \right)$. 

Скуп $B$ је скуп вредности функције ( кодомен ) $f$ и означава се са ${C_D}\left( f \right)$.

Елемент $y \in {C_D}\left( f \right)$, који је слика елемента $x \in D\left( f \right)$, означава се са $f\left( x \right)$ и назива се вредност функције $f$ у тачки $x$.

Функција $f$ је потпуно дефинисана, ако је позната област њене дефинисаности и ако је за сваку вредност $x \in D\left( f \right)$, позната вредност функције $f\left( x \right)$, тј. познато је правило по којем се одређује то значење.

Симбол $f$ означава функцију, а $f\left( x \right)$ је вредност функције $f$ за $x \in D\left( f \right)$. Када се ради једноставности користи израз "функција $f\left( x \right)$", под тим се подразумева функција дефинисана са $x \mapsto f\left( x \right)$, за $x \in D\left( f \right)$.

Произвољно $x \in D\left( f \right)$ назива се независна промењива или аргумент, а $y \in {C_D}\left( f \right)$ зависна промењива.

Нека су $a$ и $b$ реални бројеви. Област дефинисаности функције може да буде:

  1. ограничен отворен интеграл $\left( {a,b} \right) + \left\{ {x \in \mathbb{R}:a < x < b} \right\}$,
  2. неограничен отворени интервал $\left( {a,\infty } \right) + \left\{ {x \in \mathbb{R}:a < x} \right\}$,
  3. неограничен отворени интервал $\left( { - \infty ,b} \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x < b} \right\}$,
  4. ограничен затворен интервал $\left[ {a,b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}:a \leqslant x \leqslant b} \right\}$,
  5. нека комбинација ових интервала, добијена пресеком и унијом.

Скупови реалних бројева који задовољавају услове 

$a \leqslant x < b,a < x \leqslant b,a \leqslant x$ и $x \leqslant b$

називају се полуотворени интервали, и означавају се са

$\left[ {a,b} \right),\left( {a,b} \right],\left[ {a, + \infty } \right)$ и $\left( { - \infty ,b} \right]$, респективно.