Завршни испит - дефиниције и формуле
Видео лекције намењене понављању дефиниција и формула потребних за завршни испит из математике. Систематизовано по областима.

Линеарна функција - дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Функција је математички појам који представља пресликавање чланова једног скупа на други.

241

Код математичког пресликавања тј.функције један оригинал може имати само једну слику, јер у супротном пресликавање није функција, односно:

242

                                     

Линеарна функција дефинисана на скупу реалних бројева je функција $y = f\left( x \right)$  одређена са

\[y = kx + n\]

где су   $k$   и  $n$  - реални бројеви.

Функција записана на овај начин назива се експлицитно задата функција.

  • $k$ је коефицијент правца линеарне функције
  • $n$ је слободан члан који представља одсечак на $y$ - oси.

Осим у експлицитном, функција може бити задата и у имплицитном облику, односно у облику

 \[ax + by + c = 0\]

Треба водити рачуна о томе да коефицијент правца и вредност одсечка на $y$ - oси можемо читати само из експлицитног облика.

Дефинисаност функције на скупу реалних бројева значи да за сваку вредност $x$ можемо пронаћи одговарајућу вредност $y = kx + n$.

График линеарне функције је права чије је „понашање“ одређено управо вредностима $k$ и $n$. Њу уцртавамо у координатни систем представљен помоћу две осе које се секу под правим углом. Доња оса означава вредност координате $x$ док су на оси са леве стране приказане вредности $y$.

 

За $k > 0$ функција је растућа и њен график је облика:

243

 

За $k < 0$ функција је опадајућа и њен график је облика:

244

 

За $k = 0$ график функције је паралелан са осом $x$, а осу $y$ сече у вредности $n$.

245

 

Раст функције $y = kx + n$ говори нам о томе да  за пораст вредности $x$ расте и вредност  $y$.

Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика $y = 2x - 1$, тада имамо:

за  $x = 1,y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$  ( А )

за  $x = 2,y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$  ( B )

Прикажимо то графички:

 246

Обратите пажњу на начин записа тачака на графику.

Координате тачке записујемо у облику $\left( {x,y} \right)$ односно на прво место стављамо координату коју читамо на  $x$- оси , док на друго место иде координата коју читамо са $y$- осе. $A\left( {1,1} \right)B\left( {2,3} \right)$

 

Функције нам говори да за повећање вредности $x$ имамо смањивање вредности $y$.

Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика $y =  - 2x + 1$, тада имамо:

за $x = 1,y = - 2 \cdot 1 + 1 =  - 1$   ( А )

за $x = 2,y =  - 2 \cdot 2 + 1 =  - 3$   ( B )

Прикажимо то графички:

 247

Обратите пажњу:

  • За $k > 0$ функција је растућа. Међутим, што се вредност $k$ повећава, функција расте све брже, односно њен нагиб је све већи.
  • За $k < 0$ функција је опадајућа. Међутим, што је вредност $k$ мања, функција опада све брже, односно пад је све оштрији.

Ако је  $k=0$,   вредност  $y$   је једнака за све вредности   $x$ .

 248

Као што је раније помињано, вредност $n$ означава величину одсечка на $y$-оси. Посматрајмо сада три различите линеарне функције (означићемо те праве словима $a,b,c$) са једнаким коефицијентом $k$, а нека се вредности за $n$ разликују.

Графички:

 249

Посматрајмо шта се код све три праве дешава за $x=0$.

Видимо да права $a$ тада сече $y$-осу у тачки А(0,1), права $b$ у тачки В(0,3), а права $c$ у тачки С(0,-4).

Вредности 1,3,-4 управо су вредности параметра $n$ за ове праве $a,b,c$ редом.

Из последњег графичког приказа, можемо приметити да су ове три праве паралелне. Њихови коефицијенти правца једнаки. Закључујемо:

Две праве (или више њих) су паралелне уколико имају једнаке коефицијенте правца.

 

Како цртамо график функције?

Нпр. желимо да нацртамо график функције $y = 2x + 1$.

За цртање графика линеарне функције, довољне су нам само две тачке. Бирамо произвољно две вредности за $x$ , и за њих израчунамо вредност $y$.  Добијамо 2 тачке које представљамо уређеним паровима $\left( {x,y} \right)$.   Уцртамо ове две тачке у координатни систем,а затим кроз те две тачке повучемо праву.

$x = 1,y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$      $A\left( {1,3} \right)$

$x = 0,y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$      $B\left( {0,1} \right)$

 

Корак1:

 250

Корак2:

 251

Решење једначине $kx + n = 0$, ${x_0} =  - \frac{n}{k}$, $k \ne 0$ назива се нула функције. Ово је заправо тачка пресека праве  $y = kx + n$ са  $x$ - осом.

Нпр. за линеарну функцију  $y = 2x + 1$, нула функције је решење једначине $2x + 1 = 0$ а то је вредност $x =  - \frac{1}{2}$.

  252

Приметимо да је лево од тачке $C\left( { - \frac{1}{2},0} \right)$ знак функције негативан, односно вредност $y$ је мања од 0 за све вредности $x$ које су мање од ${ - \frac{1}{2}}$. За вредности $x$ веће од ${ - \frac{1}{2}}$, вредност функције је позитивна.

Запишимо ово мало прегледније помоћу таблице:

253

 

Водите рачуна о следећем:

  • Права   $y=0$   је   $x$-oca
  • Права   $x=0$   је   $y$-oca
  • Права   $x=c$    је паралелна са  $y$-oсом,   а  $x$-осу  сече у тачки са координатама $(c,0)$.

Графички приказ функције $x=2$:

 254