Пропорционалност – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

Директна пропорционалност:

Функција облика $y = kx,x,y \in \mathbb{R},k \ne 0$ , назива се директна пропорционалност. Кажемо да су $x$ и $y$ директно пропорционални док је $k$ коефицијент пропорционалности.

255

256

График функције $y = kx,x,y \in \mathbb{R},k \ne 0$ , је права линија.

Обрнута пропорционалност:

Функција облика $y = \frac{k}{x},x,y \in \mathbb{R},k \ne 0,x \ne 0$ , назива се обрнута пропорционалност. Кажемо да су $x$ и $y$ обрнуто пропорционални док је $k$ коефицијент обрнуте пропорционалности.

258

259

График функције $y = \frac{k}{x},x,y \in \mathbb{R},k \ne 0,x \ne 0$ је хипербола.

Пропорционалност:

Једнакост ${x_1}:{x_2} = {y_1}:{y_2}$ где су ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$ реални бројеви назива се пропорција.

${x_1},{y_2}$ називамо спољашњим члановима, док ${x_2},{y_1}$ називамо унутрашњим члановима.

Важи да је производ спољашњих чланова једнак производу унутрашњих чланова.

${x_1} \cdot {y_2} = {x_2} \cdot {y_1}$

Најчешће нам је непозната једна од величина ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$ а њу добијамо управо изједначавањем производа унутрашњих чланова са производом спољашњих чланова.

Величине $x$ и $y$ су директно пропорционалне ако је $y = kx$ , $k \ne 0$ : колико пута се повећа $x$ , толико пута се повећа и $y$ , а количник $\frac{y}{x} = k$ је сталан. График је права кроз координатни почетак. Обрнуто пропорционалне су ако је $y = \frac{k}{x}$ : кад се $x$ повећа неколико пута, $y$ се исто толико пута смањи, а производ $x \cdot y = k$ је сталан. График је хипербола.

Пропорција $x_1 : x_2 = y_1 : y_2$ решава се тако што се производ спољашњих чланова изједначи са производом унутрашњих: $x_1 \cdot y_2 = x_2 \cdot y_1$ . Пре рачунања проверите да ли је веза директна или обрнута, јер се ту најчешће греши.

x2

k2

Директна: y = k · x: 4
Обрнута: y = k : x: 1

Удвостручите

x

, на пример са 2 на 4: на правој се

y

удвостручи, а на хиперболи преполови. Количник

\frac{y}{x}

на правој и производ

x \cdot y

на хиперболи увек су једнаки

k

.

Пропорције користите кад прерачунавате рецепт за више особа, гориво за дужи пут, цену по комаду или размеру на карти, а обрнуту пропорционалност кад више радника или машина исти посао заврши брже.

Гориво до Ниша

Аутомобил троши 6,5 l горива на 100 km. Колико горива му треба за пут од Београда до Ниша, дуг око 240 km?

Решење

Што је пут дужи, горива треба више, и то исто толико пута више: величине су директно пропорционалне.
Постављамо пропорцију $100 : 240 = 6{,}5 : x$ .
Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих: $100 \cdot x = 240 \cdot 6{,}5 = 1560$ .
Делимо са 100: $x = 15{,}6$ .

Одговор: За пут до Ниша потребно је око 15,6 l горива.

Задатак за вежбу

Три молера окрече школу за 8 дана. За колико дана би исти посао завршила четири молера која раде истим темпом?

Прикажи решење

Више молера ради краће, па је веза обрнута: $3 \cdot 8 = 4 \cdot x$ , одакле је $x = 6$ дана.