Троугао – дефиниције и особине

Задаци

ТРОУГАО

Углови троугла:

Збир унутрашњих углова троугла је ${180^\circ }$, односно $$\alpha + \beta + \gamma = {180^\circ }.$$

Збир спољашњих углова троугла је ${360^\circ }$, односно$$\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = {360^\circ }.$$

Спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несуседна унутрашња угла, нпр. $${\beta _1} = \alpha + \gamma$$

Однос страница троугла:

У сваком троуглу, свака страница је мања од збира,а већа од апсолутне вредности разлике друге све странице, односно важи

 $$\left| {BC - AC} \right| < AB < BC + AC$$

Однос страница и углова у троуглу:

У сваком троуглу важи:

• - наспрам две једнаке странице налазе се једнаки углови, (ако је $AB = BC$, онда је $\measuredangle \gamma = \measuredangle \alpha$),
• - наспрам једнаких углова налазе се једнаке странице, (ако је $\measuredangle \gamma = \measuredangle \alpha$, онда је $AB = BC$),

• - наспрам већег угла налази се дужа страница (ако је $\measuredangle \gamma < \measuredangle \alpha$, онда је $AB < BC$)

• - наспрам дуже странице налази се већи угао (ако је $AB < BC$, онда је $\measuredangle \gamma < \measuredangle \alpha .$)

Подударност троуглова:

Два троугла су подударна (ознака $\vartriangle ABC \cong \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$) ако су сви елемeнти једног троугла једнаки одговарајућим елементима у другом троуглу.

Ставови о подударности троуглова:

Два троугла су подударна ако:

1. су им једнаке по две странице и њима захваћен угао (СУС) (нпр. ако је $a = {a_1},b = {b_1},\measuredangle \gamma = \measuredangle {\gamma _1},$ онда је $\vartriangle ABC \cong \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$)
2. им је једнака по једна страница и два угла налегла на ту страницу (УСУ) (нпр. ако је $b = {b_1},\measuredangle \gamma = \measuredangle {\gamma _1},\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1},$  онда је $\vartriangle ABC \cong \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$)
3. су им једнаке три одговарајуће странице (ССС) (нпр. ако је $a = {a_1},b = {b_1},c = {c_1},$ онда је $\vartriangle ABC \cong \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$)
4. су им једнаке две странице и угао наспрам дуже од тих страница. (ССУ) (нпр. ако је $a = {a_1},b = {b_1},\measuredangle \alpha = \measuredangle {\alpha _1},$ онда је $\vartriangle ABC \cong \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$) .

Значајне тачке троугла:

Центар описане кружнице око троугла је пресек симетрала страница тог троугла. Код оштроуглог троугла, он се налази унутар троугла. Код правоуглог троугла, центар описане кружнице се поклапа са средиштем хипотенузе. Код тупоуглог троугла, центар описане кружнице је ван троугла.

Центар уписане кружнице троугла налази се у пресеку симетрала унутрашњих углова тог троугла.

Ортоцентар троугла је тачка пресека правих одређених висинама тог троугла. Код оштроуглог троугла, он се налази унутар троугла. Код правоуглог троугла, ортоцентар  се поклапа са теменом правог угла. Код тупоуглог троугла, ортоцентар је ван троугла.

Тежишна дуж троугла је дуж која спаја једно теме тог троугла са средиштем странице која је наспрамна том темену.

Тежиште троугла је пресек тежишних дужи троугла.

Тежиште троугла дели тежишну дуж у односу 2:1.

Код једнакокраког троугла све четири значајне тачке троугла налазе се на симетрали основице, док се код једнакостраничног троугла све тачке поклапају.

Обим троугла је збир дужина страница тог троугла, односно

 $O = a + b + c.$

Површину троугла рачунамо помоћу формуле

 $P = \frac{{a \cdot {h_a}}}{2} = \frac{{b \cdot {h_b}}}{2} = \frac{{c \cdot {h_c}}}{2}$

где су ${h_a},{h_b},{h_c}$  висине које одговарају страницама $a,b,c$.

Површину правоуглог троугла рачунамо помоћу формула

 $P = \frac{{a \cdot b}}{2} = \frac{{c \cdot {h_c}}}{2}$

За правоугли троугао важи:

 $R = \frac{c}{2},r = \frac{{a + b - c}}{2}$

Где је $R$ центар описане кружнице око тог троугла, а $r$ центар уписане кружнице троугла.

Питагорина теорема: Квадрат над хипотенузом правоуглог троугла једнак је збиру квадрата над катетама тог истог троугла, односно

На основу Питагорине теореме, можемо извести неке значајне формуле за једнакокраки и једнакостранични троугао.