Разломци – дефиниције и особине

Задаци

Разломци

Разломак је количник два природна броја $a$ и $b$ који се записује као $$a:b = \frac{a}{b}.$$

Број изнад разломачке црте назива се бројилац.

Број испод разломачке црте назива се именилац.

Разломци  $\frac{a}{b},\frac{{a \cdot n}}{{b \cdot n}},\frac{{a:n}}{{b:n}}$  су једнаки.

Разломак $\frac{{a \cdot n}}{{b \cdot n}}$ добили смо операцијом проширивања.

Разломак $\frac{{a:n}}{{b:n}}$добили операцијом скраћивања.

Разломак чији су бројилац и именилац узајамно прости бројеви назива се несводљив разломак.

Уколико израчунамо количник бројиоца и имениоца добијамо децималан запис разломка.

Реципрочна вредност разломка $\frac{a}{c}$ једнака је $\frac{c}{a}$.

Разломак чији је бројилац већи од имениоца се назива неправи разломак. Њега можемо претворити у мешовити број. Први део мешовитог броја је број целих јединица садржаних у разломку, а други део је прави разломак (онај где је бројилац мањи од имениоца).

Мешовити број облика $A\frac{b}{c}$ претвара се у разломак по принципу $\frac{{A \cdot c + b}}{c}$.

Упоређивање разломака:

Од два разломка са истим имениоцем, већи је онај који има већи бројилац.

Од два разломка са истим бројиоцем, већи је онај који има мањи именилац.

Сабирање и одузимање разломака:

• $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{{a + b}}{c}$
• $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{{a - b}}{c}$
• $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot d}} + \frac{{c \cdot b}}{{d \cdot b}} = \frac{{a \cdot d + c \cdot b}}{{b \cdot d}}$
• $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot d}} - \frac{{c \cdot b}}{{d \cdot b}} = \frac{{a \cdot d - c \cdot b}}{{b \cdot d}},\left( {\frac{a}{b} > \frac{c}{d}} \right)$

Важе следећа правила: 

• $\frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}$
• $\frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b}$
• $\frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0$

Особине сабирања разломака су:

• Комутативност $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$.

• Асоцијативност $\left( {\frac{a}{b} + \frac{c}{d}} \right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right)$

Mножење разломака: 

• $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}$
• $\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$
• $\frac{a}{b} \cdot 0 = 0$

Особине које важе код множења разломака:

• Комутативност  $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}$$

• Асоцијативност   $$\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}} \right)$$

• Дистрибутивност множења у односу на сабирање $$\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}$$  

Дељење разломака:

Дељење разломком је исто што и множење његовом реципрочном вредношћу, односно важи:

 $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Ово смо могли записати и као  $\frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}}$.   Овакав тип разломка се зове двојни разломак и његову вредност израчунавамо на начин $$\frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}} = \frac{{{\text{a}} \cdot {\text{d}}}}{{{\text{b}} \cdot {\text{c}}}}$$

Један проценат неке целие, у ознаци 1%, представља један стоти део те целине.

$$1\% = \frac{1}{{100}}$$ 

Број $a$ стотих делова неке целине, $a \cdot \frac{1}{{100}}$, записујемо у облику процента са   $a$  и читамо: a процената те целине.

Разломак се може записати и у облику процента(%)

$$\frac{a}{{100}} = a\%$$