Многоугао и круг – дефиниције и особине

Задаци

МНОГОУГАО И КРУГ

Многоугао:

Примери многоуглова: петоугао, шестоугао,...,  n – тоугао, $n \in \mathbb{N}$.

Правилан петоугао:

Правилан шестоугао:

Број дијагонала из једног темена многоугла је

 $${d_n} = n - 3$$

где je $n$ број страница тог многоугла.

Укупан број дијагонала једног многоугла је
 $$D = \frac{{n \cdot \left( {n - 3} \right)}}{2}$$

Збир свих унутрашњих углова многоугла је

 $${S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ }$$

Многоугао је правилан ако су му странице међусобно подударне, као и сви унутрашњи углови.

Унутрашњи угао правилног n – тоугла је

$$\alpha = \frac{{{S_n}}}{n} = \frac{{\left( {n - 2} \right) \cdot {{180}^ \circ }}}{n}$$

За спољашњи угао $\alpha _1$ правилног n – тоугла важи

$$\begin{aligned}&\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &n \cdot {\alpha _1} = {360^ \circ }\end{aligned}$$

За централни угао правилног n – тоугла важи

$$\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n}$$ 

Обим правилног n – тоугла важи

 $$O = n \cdot a$$

где је $a$ дужина странице тог многоугла.

Површина правилног n – тоугла се у општем случају рачуна преко формуле

 $$P = \frac{{n \cdot a \cdot r}}{2}$$

где је $a$ дужина странице многоугла, $n$ број страница тог многоугла, а $r$ полупречник уписаног круга у многоугао.

Неки правилни многоуглови са којима смо се већ сусретали су једнакостранични троугао, квадрат, правилан шестоугао, итд. Њихове формуле за површину су:

 $$\begin{aligned}&{P_3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &{P_4} = {a^2} \\ &{P_6} = \frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3\end{aligned}$$

Круг:

Кружница (кружна линија) је скуп свих тачака једне равни које су подједнако удаљене од једне тачке те равни коју називамо центар. Нпр.ако је центар круга тачка О,а полупречник круга r, кружници припадају све тачке које су од О удаљене за r.

Круг (кружна површ) је скуп свих тачака у равни које су од тачке О  на растојању мањем или једнаком од r.

АB – пречник круга

ОА – полупречник круга

BC – тетива круга

ОЕ – централно растојање

t – тангента круга

Полупречник круга је растојање између центра круга и било које тачке на кружници. Полупречник означавамо са r.

Пречник круга је дуж која спаја било које две тачке на кружници и пролази кроз центар круга.

Пречник је два пута дужи од полупречника, и њега обележавамо са 2r.

Тетива је дуж која спаја две тачке на кружници. Најдужа тетива је пречник.

Тангента је права која додирује кружницу у једној тачки. Тангента је нормална на полупречник круга који садржи тачку у којој тангента додирује кружницу.

Периферијски угао је угао чије је теме на кружници,а краци су му тетиве кружнице. Централни угао је угао чије је теме у центру кружнице,а краци су му полупречници.

Периферијски угао је два пута мањи од централног угла над истим кружним луком.

Периферисјки угао над пречником је прав.

Обим круга:

$$\begin{aligned}&O = 2r\pi \\ &\pi \approx 3.14 = \frac{{22}}{7}\end{aligned}$$

где је $r$ дужина полупречника круга.

Део дужине кружне линије одређене углом $\alpha$ назива се дужина кружног лука и износи

 $$l = \frac{{r\pi \alpha }}{{{{180}^ \circ }}}$$

Површина круга:

 $$P = {r^2}\pi$$

где је $r$ дужина полупречника круга.

Површина кружног исечка одређеног углом $\alpha$:

 $${P_i} = \frac{{r \cdot l}}{2} = \frac{{{r^2}\pi \alpha }}{{{{360}^ \circ }}}$$

Површина кружног прстена:

$$P = r_1^2\pi - _2^2\pi$$