Призма – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

ПРИЗМА

Полиедар је геометријско тело ограничено равним плочама, односно вишеугаоним полигонима.

Призма је геометријски полиедар ограничен са два подударна и паралелна многоугла као основама (основе призме) и паралелограмима на боковима (бочне стране).

Делови призме су основа (база) и омотач.

Основни елементи призме су темена, основне ивице и бочне ивице.

Уколико су базе призме паралелограми, призма се назива паралелепипед и има 6 страна.

Висина призме $H$ је дужина нормале спуштене из било које тачке једне базе на раван друге базе те призме.

Дијагонала призме је дуж која не припада истој бочној страни, а чија темена припадају различитим основама призме.

–ABCDEF, A₁B₁C₁D₁E₁F₁ – су основе призме (база);

– паралелограми ABB₁A₁, BCC₁B₁, ..., FAA₁F₁ – су бочне стране;

– AB, BC, CD, .., D₁E₁, E₁F₁, F₁A₁ – основне ивице;

– AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, EE₁, FF₁ – бочне ивице;

– A, B, C, D, E, F, A₁, B₁, C₁, D₁, E₁, F₁ – темена;

– AC, BE,...,A₁C₁ – дијагонале основе;

–BC₁, ..., CB₁ – дијагонале бочне стране;

– AC₁, ..., AD₁ – диагонале призме.

312

Права призма је призма чије су бочне ивице нормалне на раван основе, док код призме бочне ивице нису нормалне на раван основе (бочна ивица = висина призме).

Права призма је правилна ако је њена основа правилан многоугао.

Jеднакоивична призма је призма код које су све ивице једнаке ( тј. код које је a = H)

Општи обрасци за рачунање површине и запремине призме су

$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &V = BH\end{aligned}$

где $B$ представља површину основе призме, $M$ површину омотача, а $H$ висину.

Површину омотача можемо израчунати по формули

$M = O \cdot H$

где jе $O$ обим базе те призме, $H$ jе висина призме.

Неке карактеристичне призме:

Правилна четворострана призма (основе квадрати, бочне стране правоугаоници)

313

Правилни хексаедар (коцка) (основе квадрати, бочне стране квадрати)

314

Правоугли хексаедар (квадар) (основе правоугаоници, бочне стране правоугаоници)

315

Правилна тространа призма (основе једнакостранични троуглови, бочне стране правоугаоници)

Правилна шестострана призма (основе правилни шестоуглови, бочне стране правоугаоници)

317

Треба обратити пажњу на дијагоналне пресеке правилне шестостране призме:

Мали дијагонални пресек:

318

Велики дијагонални пресек:

319

Призма је полиедар са две подударне паралелне основе и бочним странама које су паралелограми. Код праве призме бочне ивице су нормалне на основу и једнаке висини $H$ , а права призма је правилна ако јој је основа правилан многоугао. Површина је $P = 2B + M$ , где је $B$ површина основе, а $M = O \cdot H$ површина омотача ( $O$ је обим основе). Запремина је $V = B \cdot H$ .

Квадар са ивицама $a$ , $b$ и $c$ има површину $P = 2(ab + ac + bc)$ , запремину $V = abc$ и дијагоналу $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ , а коцка $P = 6a^2$ и $V = a^3$ . Честа грешка је да се у површини заборави једна основа или да се помешају cm² и cm³.

Дужина a8 dm

Ширина b3,5 dm

Висина H4 dm

Омотач M: 92 dm²
Стакло B + M: 120 dm²
Запремина V: 112 l

Мере су у дециметрима, па запремину у dm³ одмах читате у литрима. Укључите мрежу: омотач чине четири бочна правоугаоника, а основе су две. Акваријуму без поклопца треба само

B + M

.

Запремину и површину призме рачунају мајстори и произвођачи кад праве акваријуме, кутије, базене и стубове: колико стакла, картона или боје треба и колико воде или бетона стане унутра.

Стакло за акваријум

Акваријум без поклопца има облик квадра дугог 80 cm, широког 35 cm и високог 40 cm. Колико стакла је потребно за њега и колико литара воде стане у њега?

Решење

Основа је правоугаоник: $B = 80 \cdot 35 = 2800$ cm².
Обим основе је $O = 2(80 + 35) = 230$ cm, па је омотач $M = O \cdot H = 230 \cdot 40 = 9200$ cm².
Поклопца нема, па стакло чине једна основа и омотач: $B + M = 2800 + 9200 = 12\,000$ cm², односно $1{,}2$ m².
Запремина је $V = B \cdot H = 2800 \cdot 40 = 112\,000$ cm³, што је 112 dm³, односно 112 l.

Одговор: За акваријум треба 1,2 m² стакла, а у њега стане 112 l воде.

Задатак за вежбу

Бетонски стуб има облик правилне четворостране призме са основном ивицом 3 dm и висином 20 dm. Колико бетона је потребно за стуб и колико квадратних метара има његов омотач, који треба офарбати?

Прикажи решење

$V = a^2 \cdot H = 9 \cdot 20 = 180$ dm³, односно $0{,}18$ m³, а $M = 4 \cdot a \cdot H = 4 \cdot 3 \cdot 20 = 240$ dm², односно $2{,}4$ m².