Ваљак – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

Ваљак је геометријско тело које се састоји од две основе (базе) и омотача.

Основе ваљка чине два круга једнаког полупречника док је омотач ваљка правоугаоник коме је дужина једне странице једнака обиму круга, док jе дужина друге странице једнака висини ваљка.

12345 jpg

Мрежа ваљка може се видети на слици:

325

Када се мрежа „урола“ настане ваљак:

326

Ваљак има две основе, подударне кругове полупречника $r$ , и омотач који се развија у правоугаоник са страницама $2r\pi$ (обим основе) и $H$ (висина). Зато је $M = 2r\pi H$ , површина $P = 2B + M = 2r^2\pi + 2r\pi H$ , а запремина $V = B \cdot H = r^2\pi H$ .

Осни пресек ваљка је правоугаоник са страницама $2r$ и $H$ , површине $2rH$ . Ваљак је једнакостраничан ако је $2r = H$ , и тада му је осни пресек квадрат. Најчешће грешке су да се пречник унесе уместо полупречника и да се у површини заборави једна од две основе. Запремину лако претварате у литре, јер је 1000 cm³ = 1 l.

Полупречник r5 cm

Висина H12 cm

Омотач M: 377 cm²
Површина P: 534,1 cm²
Запремина V: 942,5 cm³
Осни пресек 2rH: 120 cm²

Укључите мрежу: омотач је правоугаоник дуг колико обим основе

2r\pi

и широк колико висина

H

. За

r = 5

и

H = 12

добијате конзерву из примера, запремине око 942,5 cm³.

Запремину и површину ваљка рачунају произвођачи конзерви, лименки и цеви, инжењери кад пројектују резервоаре и бојлере и мајстори кад процењују боју за стубове.

Конзерва за сок

Лимена конзерва има пречник основе 10 cm и висину 12 cm. Колико лима је потребно за њу и да ли у њу може да стане 0,9 l сока?

Решење

Полупречник је $r = 10 : 2 = 5$ cm, а висина $H = 12$ cm.
Површина: $P = 2r^2\pi + 2r\pi H = 2 \cdot 25\pi + 2 \cdot 5\pi \cdot 12 = 50\pi + 120\pi = 170\pi \approx 534{,}1$ cm².
Запремина: $V = r^2\pi H = 25\pi \cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}5$ cm³.
Пошто је 1 l = 1000 cm³, запремина је око 0,94 l, што је више од 0,9 l.

Одговор: За конзерву је потребно око 534,1 cm² лима, а 0,9 l сока стаје у њу, јер јој је запремина око 0,94 l.

Задатак за вежбу

Ваљкаста кутија за чај има осни пресек у облику квадрата површине 64 cm². Колика је њена запремина?

Прикажи решење

Осни пресек је квадрат, па је $2r = H$ и $(2r)^2 = 64$ , одакле је $H = 8$ cm и $r = 4$ cm. $V = r^2\pi H = 16\pi \cdot 8 = 128\pi \approx 402{,}1$ cm³.