Цели бројеви – дефиниције и особине

Задаци

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Скуп целих бројева $\mathbb{Z}$ садржи природне бројеве $\left\{ {1,2,3, \ldots } \right\}$  , нулу $\left\{ 0 \right\}$ негативне целе бројеве $\left\{ { - 1, - 2, - 3, \ldots } \right\}$, односно важи

$\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\} \cup {\mathbb{Z}^ - } = \left\{ {0,1, - 1,2, - 2,3, - 3,...} \right\}$

Целе бројеве можемо приказати на бројевној прави:

­­

Два броја су међусобно супротна ако су њима придружене тачке на бројевној прави на једнаком растојању од 0, али са различитих страна. Супротан број броју $a$ је број $-a$. Супротан број броју $-a$  је број $- \left( { - a} \right) = a$. Збир два супротна броја је једнак 0.

Апсолутна вредност броја $x$ чија је ознака $\left| x \right|$ дефинише се на следећи начин:

Апсолутна вредност је увек ненегативан број, и она представља растојање неког броја од $0$ на бројевној прави.

Супротни бројеви имају једнаку апсолутну вредност.

Сабирање целих бројева:

Збир два цела броја истог знака има тај исти знак, док је његова апсолутна вредност једнака збиру апсолутних вредности сабирака

Збир два цела броја различитог знака и различитих апсолутних вредности има знак оног сабирка чија је апсолутна вредност већа. Апсолутна вредност збира једнака је разлици апсолутних вредности сабирака, где од сабирка са већом апсолутном вредношћу одузимамо сабирак са мањом апсолутном вредношћу.

Код сабирања целих бројева важе особине:

• Комутативност $a + b = b + a$
• Асоцијативност $\left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)$
• Ако је $a < b$, онда важи $a + c < b + c$.

Множење целих бројева:

Апсолутна вредност производа два цела броја једнака је производу апсолутних вредности тих бројева.

Уколико су оба цела броја истог знака, знак производа је "$+$"

Уколико су бројеви различитог знака, онда је знак производа "$-$".

За множење бројевима ${0,1, - 1}$  важе правила:

$\begin{aligned}&0 \cdot a = 0 \\ &1 \cdot a = a \\ &- 1 \cdot a = - a\end{aligned}$

Код множења целих бројева важе особине:

• Комутативност $a \cdot b = b \cdot a$
• Асоцијативност $\left( {a \cdot b} \right) \cdot c = a \cdot \left( {b \cdot c} \right)$
• Дистрибутивност множења у односу на сабирање $\left( {a + b} \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
• Ако је $a < b$ и $c > 0$ онда важи $ac < bc$
• Ако је $a < b$ и $c < 0$ онда важи $ac > bc$.

Дељење целих бројева:

Количник целих бројева $a$ и $b$, $\left( {b \ne 0} \right)$  је број  за који важи  $b \cdot c = a$.

Апсолутна вредност количника два броја је једнака количнику апсолутних вредности тих бројева.

Уколико су два цела броја истог знака, количник има знак "$+$" .

Уколико два цела броја нису истог знака, количник има знак "$-$".

Количник 0 и неког броја једнак је 0.

Није дозвољено дељење нулом.

Дељивост:

Број  је дељив са 10,100,1000,.... ако су му једна,две, три последње цифре нуле.

Број је дељив са 2 ако је паран.

Број је дељив са 3 уколико му је збир цифара дељив са 3.

Број је дељив са 4,8,.... уколико су му последње две, три,... цифре дељиве датим бројем.

Број је дељив са 5 ако му је последња цифра 0 или 5.

Број је дељив са 9 уколико му је збир цифара дељив са 9.

Број је дељив са 25, 125,... ако су му последње две,три,.... цифре дељиве датим бројем.

Прост број је број који је дељив само са собом и бројем 1.

Сложен број је број који има више од два делиоца.

Број 1 није ни прост ни сложен број!!!

Узаимно прости бројеви су они чије је једини заједнички делилцц број 1.