Линеарне неједначине – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

ЛИНЕАРНЕ НЕЈЕДНАЧИНЕ

Линеарна неједначина по $x$ је свака неједначина која се еквивалентним трансформацијама може свести на један од следећих облика:

$\begin{aligned}&ax < b \\ &ax \leqslant b \\ &ax > b \\ &ax \geqslant b\end{aligned}$

где је $x$ непозната променљива, а $a$ и $b$ су реални бројеви.

Решење неједначине је сваки број који када се замени у неједначину уместо променљиве даје тачну неједнакост.

Неједначине се могу решавати у било ком скупу бројева, но потребно је строго водити рачуна који скуп се тражи у конкретном задатку.

На пример, решење неједначине облика $x < 3$

у скупу природних бројева је $\left\{ {1,2} \right\}$ ,

у скупу природних бројева са нулом је $\left\{ {0,1,2} \right\}$ ,

у скупу целих бројева је $\left\{ {...-3,-2,-1,0,1,2} \right\}$ или краће записано $x \in \left( { - \infty ,2} \right],x \in \mathbb{Z}$

у скупу реалних бројева решење је скуп $x \in \left( { - \infty ,3} \right),x \in \mathbb{R}$ ,

Решење неједначине облика $x \leqslant 3$

у скупу природних бројева је $\left\{ {1,2,3} \right\}$ ,

у скупу природних бројева са нулом је $\left\{ {0,1,2,3} \right\}$ ,

у скупу целих бројева је $\left\{ {...-3,-2,-1,0,1,2,3} \right\}$ или краће записано $x \in \left( { - \infty ,3} \right],x \in \mathbb{Z}$

у скупу реалних бројева решење је скуп $x \in \left( { - \infty ,3} \right],x \in \mathbb{R}$

Напомена: Обратити пажњу на изглед заграда у запису за скупове целих и реалних бројева.

Скуп решења линеарне неједначине може се приказати помоћу бројевне праве. Најчешће бројевна права служи за приказ решења у скупу реалних бројева, мада се може користити и за друге скупове. Ево неких примера:

236

237

Празан кружић изнад броја означава да тај број није решење неједначине, док пун кружић означава да тај број јесте решење неједначине.

ВАЖНО: Знак неједнакости је „осетљив“ на множење или дељење неједначине негативним бројем. Ове операције мењају знак. Ову особину илустроваћемо примером:

238

Линеарна неједначина се еквивалентним трансформацијама своди на облик $ax < b$ , $ax \le b$ , $ax > b$ или $ax \ge b$ . Решење је сваки број који, замењен уместо $x$ , даје тачну неједнакост. Решавате је као једначину, уз једно важно правило: кад обе стране помножите или поделите негативним бројем, знак неједнакости се окреће. Тако из $-2x < -1$ следи $x > \frac{1}{2}$ .

Увек пазите у ком скупу тражите решења. Неједначина $x < 3$ у скупу $\mathbb{N}$ има решења $\{1, 2\}$ , а у скупу $\mathbb{R}$ интервал $(-\infty, 3)$ . На бројевној правој пун кружић значи да граница јесте решење (знак $\le$ или $\ge$ ), а празан да није (знак $<$ или $>$ ).

Почетно стање батерије85%

Потрошња на сат12%

Најмање дозвољено стање20%

Граница: 5,42 h
Највише целих сати: 5 h

Плави део праве су сва решења неједначине у скупу реалних бројева. Кружић на граници је пун, јер је неједнакост нестрога (

\le

), па и сама граница јесте решење. Пошто бројимо целе сате, одговор је највећи цео број у том делу.

Неједначине одговарају на питања „највише“ и „најмање“: колико ствари можете да купите за одређени новац, колико дуго ће трајати батерија или резервоар и колико бодова вам треба за жељену оцену.

Батерија на путовању

Телефон је напуњен 85%, а навигација током вожње троши 12% батерије на сат. Колико највише целих сати можете да користите навигацију, а да батерија не падне испод 20%?

Решење

После $x$ сати остаје $85 - 12x$ процената, па решавамо $85 - 12x \ge 20$ .
Одузмемо 85 од обе стране: $-12x \ge -65$ .
Поделимо са $-12$ . Пошто делимо негативним бројем, знак се окреће: $x \le \frac{65}{12} = 5\frac{5}{12}$ .
Тражимо целе сате, па су решења $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Провера: после 5 сати остаје 25%, а после 6 сати само 13%.

Одговор: Навигацију можете да користите највише 5 сати.

Задатак за вежбу

На излету у зоолошки врт улазница кошта 550 динара, а један сладолед 160 динара. Имате 1500 динара. Колико највише сладоледа можете да купите поред улазнице?

Прикажи решење

$550 + 160x \le 1500$ , па је $160x \le 950$ и $x \le 5{,}9375$ . Можете да купите највише 5 сладоледа.