Четвороуглови – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

ЧЕТВОРОУГАО

Четвороугао је многоугао који има четири странице.

Збир унутрашњих углова четвороугла је ${360^ \circ }$ , oдносно важи $\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ }$

Збир спољашњих углова четвороугла је такође ${360^ \circ }$ oдносно $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = {360^ \circ }$

Посматраћемо 3 групе четвороуглова: паралелограме, делтоиде и трапезе.

Паралелограм:

- је четвороугао који има два пара наспрамних паралелних страница.
- Наспрамне странице паралелограма су једнаке $\left( {AB = CD,BC = AD} \right)$
- Дијагонале паралелограма се секу и полове се.
- Збир свака два суседна угла паралелограма је ${180^ \circ }$
- Наспрамни углови паралелограма су једнаки $\left( {\alpha = \gamma ,\beta = \delta } \right)$

297

Правоугаоник:

- је паралелограм коме су сви унутрашњи углови прави.
- Дијагонале правоугаоника се секу и полове се.
- Око сваког правоугаоника се може описати кружница.

Ромб:

- је паралелограм коме су све странице једнаке.
- Дијагонале ромба су међусобно нормалне.
- У сваки ромб се може уписати кружница.

Квадрат:

- је правоугаоник чије су све странице једнаке.
- Сви унутрашњи углови квадрата су прави.
- Дијагонале квадрата су једнаке, нормалне су једна на другу и полове се.
- У квадрат се може уписати кружница.
- Око квадрата се може описати кружница.

Трапез:

- је четвороугао који има један пар паралелних страница које се зову основице.
- Друге две (непаралелне) странице трапеза називају се краци.

Уколико су краци трапеза једнаки, зовемо га једнакокраки трапез. За њега важи:

- Углови на истој основици су једнаки.
- Дијагонале једнакокраког трапеза су једнаке.

Средња линија трапеза је дуж која спаја средишта кракова тог трапеза. Она је паралелна основицама и једнака половини њиховог збира.

$m = \frac{{a + b}}{2}$

Уколико је један крак трапеза нормалан на основице, такав трапез називамо правоугли трапез.

299 Делтоид:

- је четвороугао чије су дијагонале нормалне и једна од њих полови другу. (нпр. дијагонала $d_1$ сече дијагоналу $d_2$ на пола).
- има два пара једнаких суседних страница.

300

Обим и површина четвороугла

301

Паралелограм:

$\begin{aligned}&O = 2\left( {a + b} \right) \\ &P = a \cdot {h_a} = b \cdot {h_b}\end{aligned}$

Ромб:

$\begin{aligned}&O = 4a \\ &P = ah = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \\ &r = \frac{h}{2}\end{aligned}$

где је $r$ полупречник уписане кружнице.

Напомена: За сваки четвороугао код кога се дијагонале секу под правим углом важи:

$P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2}$

302

Правоугаоник:

$\begin{aligned}&O = 2\left( {a + b} \right) \\ &P = a \cdot b \\ &R = \frac{d}{2}\end{aligned}$

где је $R$ полупречник oписане кружнице.

Квадрат:

$\begin{aligned}&O = 4a \\ &P = {a^2} \\ &r = \frac{a}{2} \\ &R = \frac{d}{2}\end{aligned}$

где је $r$ полупречник уписане кружнице, a $R$ полупречник oписане кружнице.

Трапез:

$\begin{aligned}&O = a + b + c + d \\ &P = m \cdot h = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\end{aligned}$

Делтоид (четвороугао са нормалним дијагоналама):

$P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2}$

Збир унутрашњих углова сваког четвороугла је $360^\circ$ . Паралелограм има два пара паралелних страница: наспрамне странице и наспрамни углови су му једнаки, суседни углови дају збир $180^\circ$ , а дијагонале се полове. Правоугаоник, ромб и квадрат су посебни паралелограми, а дијагонале ромба и квадрата су нормалне. Трапез има један пар паралелних страница, основице $a$ и $b$ , а средња линија му је $m = \frac{a + b}{2}$ .

Површине су: паралелограм $P = a \cdot h_a$ , правоугаоник $P = a \cdot b$ , трапез $P = m \cdot h$ , а сваки четвороугао са нормалним дијагоналама (ромб, квадрат, делтоид) $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ . Честа грешка је да се површина ромба рачуна као $a^2$ , што важи само за квадрат.

Основица a: 40 m
Основица b: 25 m
Средња линија m: 32,5 m
Површина P: 650 m²

Једна јединица мреже је 5 m, као у примеру. Како год померате горњу основицу, средња линија

m

остаје аритметичка средина основица, а површина је

m \cdot h

. Ако

C

и

D

померите за исто растојање, површина се не мења.

Обим и површину четвороуглова рачунају геометри кад мере парцеле и мајстори кад процењују плочице, паркет и ограду, а делтоид је облик дечјег змаја.

Ограда око плаца

Плац има облик правоуглог трапеза: основице су 40 m и 25 m, а крак нормалан на њих је 20 m. Колика је површина плаца и колико метара ограде треба око њега?

Решење

Средња линија је $m = \frac{40 + 25}{2} = 32{,}5$ m, па је површина $P = m \cdot h = 32{,}5 \cdot 20 = 650$ m².
Косом краку $c$ одговара правоугли троугао са катетама $h = 20$ m и $40 - 25 = 15$ m.
По Питагориној теореми $c = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{625} = 25$ m.
Обим је $O = 40 + 25 + 20 + 25 = 110$ m.

Одговор: Плац има површину 650 m², а за ограду треба 110 m.

Задатак за вежбу

Дечји змај има облик делтоида са дијагоналама 80 cm и 50 cm. Колико је платна потребно за њега?

Прикажи решење

Дијагонале делтоида су нормалне, па је $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{80 \cdot 50}{2} = 2000$ cm², односно $0{,}2$ m².