ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА
Функција је математички појам који представља пресликавање чланова једног скупа на други.
Код математичког пресликавања тј.функције један оригинал може имати само једну слику, јер у супротном пресликавање није функција, односно:
Линеарна функција дефинисана на скупу реалних бројева je функција y=f(x) одређена са
y=kx+n
где су k и n - реални бројеви.
Функција записана на овај начин назива се експлицитно задата функција.
- k је коефицијент правца линеарне функције
- n је слободан члан који представља одсечак на y - oси.
Осим у експлицитном, функција може бити задата и у имплицитном облику, односно у облику
ax+by+c=0
Треба водити рачуна о томе да коефицијент правца и вредност одсечка на y - oси можемо читати само из експлицитног облика.
Дефинисаност функције на скупу реалних бројева значи да за сваку вредност x можемо пронаћи одговарајућу вредност y=kx+n.
График линеарне функције је права чије је „понашање“ одређено управо вредностима k и n. Њу уцртавамо у координатни систем представљен помоћу две осе које се секу под правим углом. Доња оса означава вредност координате x док су на оси са леве стране приказане вредности y.
За k>0 функција је растућа и њен график је облика:
За k<0 функција је опадајућа и њен график је облика:
За k=0 график функције је паралелан са осом x, а осу y сече у вредности n.
Раст функције y=kx+n говори нам о томе да за пораст вредности x расте и вредност y.
Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика y=2x−1, тада имамо:
за x=1,y=2⋅1−1=1 ( А )
за x=2,y=2⋅2−1=3 ( B )
Прикажимо то графички:
Обратите пажњу на начин записа тачака на графику.
Координате тачке записујемо у облику (x,y) односно на прво место стављамо координату коју читамо на x- оси , док на друго место иде координата коју читамо са y- осе. A(1,1)B(2,3)
Функције нам говори да за повећање вредности x имамо смањивање вредности y.
Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика y=−2x+1, тада имамо:
за x=1,y=−2⋅1+1=−1 ( А )
за x=2,y=−2⋅2+1=−3 ( B )
Прикажимо то графички:
Обратите пажњу:
- За k>0 функција је растућа. Међутим, што се вредност k повећава, функција расте све брже, односно њен нагиб је све већи.
- За k<0 функција је опадајућа. Међутим, што је вредност k мања, функција опада све брже, односно пад је све оштрији.
Ако је k=0, вредност y је једнака за све вредности x .
Као што је раније помињано, вредност n означава величину одсечка на y-оси. Посматрајмо сада три различите линеарне функције (означићемо те праве словима a,b,c) са једнаким коефицијентом k, а нека се вредности за n разликују.
Графички:
Посматрајмо шта се код све три праве дешава за x=0.
Видимо да права a тада сече y-осу у тачки А(0,1), права b у тачки В(0,3), а права c у тачки С(0,-4).
Вредности 1,3,-4 управо су вредности параметра n за ове праве a,b,c редом.
Из последњег графичког приказа, можемо приметити да су ове три праве паралелне. Њихови коефицијенти правца једнаки. Закључујемо:
Две праве (или више њих) су паралелне уколико имају једнаке коефицијенте правца.
Како цртамо график функције?
Нпр. желимо да нацртамо график функције y=2x+1.
За цртање графика линеарне функције, довољне су нам само две тачке. Бирамо произвољно две вредности за x , и за њих израчунамо вредност y. Добијамо 2 тачке које представљамо уређеним паровима (x,y). Уцртамо ове две тачке у координатни систем,а затим кроз те две тачке повучемо праву.
x=1,y=2⋅1+1=3 A(1,3)
x=0,y=2⋅0+1=1 B(0,1)
Корак1:
Корак2:
Решење једначине kx+n=0, x0=−nk, k≠0 назива се нула функције. Ово је заправо тачка пресека праве y=kx+n са x - осом.
Нпр. за линеарну функцију y=2x+1, нула функције је решење једначине 2x+1=0 а то је вредност x=−12.
Приметимо да је лево од тачке C(−12,0) знак функције негативан, односно вредност y је мања од 0 за све вредности x које су мање од −12. За вредности x веће од −12, вредност функције је позитивна.
Запишимо ово мало прегледније помоћу таблице:
Водите рачуна о следећем:
- Права y=0 је x-oca
- Права x=0 је y-oca
- Права x=c је паралелна са y-oсом, а x-осу сече у тачки са координатама (c,0).
Графички приказ функције x=2:
