Линеарна функција - дефиниције и особине
Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.
Задаци
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА
Функција је математички појам који представља пресликавање чланова једног скупа на други.
Код математичког пресликавања тј.функције један оригинал може имати само једну слику, јер у супротном пресликавање није функција, односно:
Линеарна функција дефинисана на скупу реалних бројева je функција $y = f\left( x \right)$ одређена са
\[y = kx + n\]
где су $k$ и $n$ - реални бројеви.
Функција записана на овај начин назива се експлицитно задата функција.
- $k$ је коефицијент правца линеарне функције
- $n$ је слободан члан који представља одсечак на $y$ - oси.
Осим у експлицитном, функција може бити задата и у имплицитном облику, односно у облику
\[ax + by + c = 0\]
Треба водити рачуна о томе да коефицијент правца и вредност одсечка на $y$ - oси можемо читати само из експлицитног облика.
Дефинисаност функције на скупу реалних бројева значи да за сваку вредност $x$ можемо пронаћи одговарајућу вредност $y = kx + n$.
График линеарне функције је права чије је „понашање“ одређено управо вредностима $k$ и $n$. Њу уцртавамо у координатни систем представљен помоћу две осе које се секу под правим углом. Доња оса означава вредност координате $x$ док су на оси са леве стране приказане вредности $y$.
За $k > 0$ функција је растућа и њен график је облика:
За $k < 0$ функција је опадајућа и њен график је облика:
За $k = 0$ график функције је паралелан са осом $x$, а осу $y$ сече у вредности $n$.
Раст функције $y = kx + n$ говори нам о томе да за пораст вредности $x$ расте и вредност $y$.
Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика $y = 2x - 1$, тада имамо:
за $x = 1,y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ ( А )
за $x = 2,y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ ( B )
Прикажимо то графички:
Обратите пажњу на начин записа тачака на графику.
Координате тачке записујемо у облику $\left( {x,y} \right)$ односно на прво место стављамо координату коју читамо на $x$- оси , док на друго место иде координата коју читамо са $y$- осе. $A\left( {1,1} \right)B\left( {2,3} \right)$
Функције нам говори да за повећање вредности $x$ имамо смањивање вредности $y$.
Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика $y = - 2x + 1$, тада имамо:
за $x = 1,y = - 2 \cdot 1 + 1 = - 1$ ( А )
за $x = 2,y = - 2 \cdot 2 + 1 = - 3$ ( B )
Прикажимо то графички:
Обратите пажњу:
- За $k > 0$ функција је растућа. Међутим, што се вредност $k$ повећава, функција расте све брже, односно њен нагиб је све већи.
- За $k < 0$ функција је опадајућа. Међутим, што је вредност $k$ мања, функција опада све брже, односно пад је све оштрији.
Ако је $k=0$, вредност $y$ је једнака за све вредности $x$ .
Као што је раније помињано, вредност $n$ означава величину одсечка на $y$-оси. Посматрајмо сада три различите линеарне функције (означићемо те праве словима $a,b,c$) са једнаким коефицијентом $k$, а нека се вредности за $n$ разликују.
Графички:
Посматрајмо шта се код све три праве дешава за $x=0$.
Видимо да права $a$ тада сече $y$-осу у тачки А(0,1), права $b$ у тачки В(0,3), а права $c$ у тачки С(0,-4).
Вредности 1,3,-4 управо су вредности параметра $n$ за ове праве $a,b,c$ редом.
Из последњег графичког приказа, можемо приметити да су ове три праве паралелне. Њихови коефицијенти правца једнаки. Закључујемо:
Две праве (или више њих) су паралелне уколико имају једнаке коефицијенте правца.
Како цртамо график функције?
Нпр. желимо да нацртамо график функције $y = 2x + 1$.
За цртање графика линеарне функције, довољне су нам само две тачке. Бирамо произвољно две вредности за $x$ , и за њих израчунамо вредност $y$. Добијамо 2 тачке које представљамо уређеним паровима $\left( {x,y} \right)$. Уцртамо ове две тачке у координатни систем,а затим кроз те две тачке повучемо праву.
$x = 1,y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ $A\left( {1,3} \right)$
$x = 0,y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$ $B\left( {0,1} \right)$
Корак1:
Корак2:
Решење једначине $kx + n = 0$, ${x_0} = - \frac{n}{k}$, $k \ne 0$ назива се нула функције. Ово је заправо тачка пресека праве $y = kx + n$ са $x$ - осом.
Нпр. за линеарну функцију $y = 2x + 1$, нула функције је решење једначине $2x + 1 = 0$ а то је вредност $x = - \frac{1}{2}$.
Приметимо да је лево од тачке $C\left( { - \frac{1}{2},0} \right)$ знак функције негативан, односно вредност $y$ је мања од 0 за све вредности $x$ које су мање од ${ - \frac{1}{2}}$. За вредности $x$ веће од ${ - \frac{1}{2}}$, вредност функције је позитивна.
Запишимо ово мало прегледније помоћу таблице:

Водите рачуна о следећем:
- Права $y=0$ је $x$-oca
- Права $x=0$ је $y$-oca
- Права $x=c$ је паралелна са $y$-oсом, а $x$-осу сече у тачки са координатама $(c,0)$.
Графички приказ функције $x=2$: