Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.
Разломци
Разломак је количник два природна броја $a$ и $b$ који се записује као \[a:b = \frac{a}{b}.\]
Број изнад разломачке црте назива се бројилац.
Број испод разломачке црте назива се именилац.
Разломци $ \frac{a}{b},\frac{{a \cdot n}}{{b \cdot n}},\frac{{a:n}}{{b:n}}$ су једнаки.
Разломак $\frac{{a \cdot n}}{{b \cdot n}}$ добили смо операцијом проширивања.
Разломак $\frac{{a:n}}{{b:n}}$добили операцијом скраћивања.
Разломак чији су бројилац и именилац узајамно прости бројеви назива се несводљив разломак.
Уколико израчунамо количник бројиоца и имениоца добијамо децималан запис разломка.
Реципрочна вредност разломка $\frac{a}{c}$ једнака је $\frac{c}{a}$.
Разломак чији је бројилац већи од имениоца се назива неправи разломак. Њега можемо претворити у мешовити број. Први део мешовитог броја је број целих јединица садржаних у разломку, а други део је прави разломак (онај где је бројилац мањи од имениоца).
Мешовити број облика $A\frac{b}{c}$ претвара се у разломак по принципу $\frac{{A \cdot c + b}}{c}$.
Упоређивање разломака:
Од два разломка са истим имениоцем, већи је онај који има већи бројилац.
Од два разломка са истим бројиоцем, већи је онај који има мањи именилац.
Сабирање и одузимање разломака:
- $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{{a + b}}{c}$
- $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{{a - b}}{c}$
- $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot d}} + \frac{{c \cdot b}}{{d \cdot b}} = \frac{{a \cdot d + c \cdot b}}{{b \cdot d}}$
- $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot d}} - \frac{{c \cdot b}}{{d \cdot b}} = \frac{{a \cdot d - c \cdot b}}{{b \cdot d}},\left( {\frac{a}{b} > \frac{c}{d}} \right)$
Важе следећа правила:
- $\frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}$
- $\frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b}$
- $\frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0$
Особине сабирања разломака су:
- Комутативност $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$.
- Асоцијативност $\left( {\frac{a}{b} + \frac{c}{d}} \right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right)$
Mножење разломака:
- $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}$
- $\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$
- $\frac{a}{b} \cdot 0 = 0$
Особине које важе код множења разломака:
- Комутативност \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}\]
- Асоцијативност \[\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}} \right)\]
- Дистрибутивност множења у односу на сабирање \[\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}\]
Дељење разломака:
Дељење разломком је исто што и множење његовом реципрочном вредношћу, односно важи:
\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\]
Ово смо могли записати и као $\frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}}$. Овакав тип разломка се зове двојни разломак и његову вредност израчунавамо на начин \[\frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}} = \frac{{{\text{a}} \cdot {\text{d}}}}{{{\text{b}} \cdot {\text{c}}}}\]
Један проценат неке целие, у ознаци 1%, представља један стоти део те целине.
\[1\% = \frac{1}{{100}}\]
Број $a$ стотих делова неке целине, $a \cdot \frac{1}{{100}}$, записујемо у облику процента са $a%$ и читамо: a процената те целине.
Разломак се може записати и у облику процента(%)
\[\frac{a}{{100}} = a\% \]