Четвороугао, многоугао

Решени задаци. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Који многоугао има број свих дијагонала:

два;
три;
пет;
осам пута

већи од броја дијагонала повучених из једног темена?

Пр.2) Ако је укупан број свих дијагонала многоугла

9
20
35
54
77

колико тај многоугао има страница?

Пр.3) Да ли постоји многоугау код кога је укупан број дијагонала:

18;
35;
170;
252;
405?

Пр.4) Који многоугао има

5 пута
8 пута
10 пута
15пута

више дијагонала њего страница?

Пр.5) Из једног темена многоугла може се конструисати 15 дијагонала.

Колико страница има тај многаугао?
Израчунати збир унутрашњих углова тог многоугла.

Пр.6) Израчунај површине шрафираних фигура на слици.

349

Пр.7) Израчунај дијагоналу правоугаоника ако је $P=108cm^{2}$ , $a=9cm$ .

Пр.8) Израчунати обим и површину ромба ако је $h = 2\sqrt 2 cm$ , угао $α=45°$ .

Пр.9) Израчунати обим и површину једнакокрак трапеза ако је Одреди површину, $c=13cm$ , $h=12cm$ .

Пр.10) Код правоуглог трапеза $ABCD$ је $\left| {AD} \right| = \left| {DC} \right| = 4cm$ и $\left| {BC} \right| = 5cm$ . Израчунај површину троугла $ABC$ .

Пр.11) Обим квадрата је $20cm$ . Израчунај дужину његове дијагонале.

Пр.12) Одреди површину ромба ако је страница ромба $15cm$ и једна дијагонала $24cm$ .

Пр.13) Одреди обим и површину једнакокрак трапеза ако је основица $a=40cm$ , висина $h = 24 cm$ и крак $с = 26 cm$ .

Пр.14) Израчунати обим и површину трапеза приказаног на слици.

350

Многоугао са $n$ страница има из једног темена $n - 3$ дијагонале, а укупно $D_n = \frac{n(n - 3)}{2}$ : свака дијагонала се броји из оба своја темена, зато се дели са 2. Збир унутрашњих углова је $(n - 2) \cdot 180^\circ$ , а збир спољашњих увек $360^\circ$ .

Код четвороуглова се већина задатака своди на правоугли троугао. Дијагонала правоугаоника је $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ , а квадрата $d = a\sqrt{2}$ . Површина ромба је $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h$ , а трапеза $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ . Код једнакокраког трапеза висина, крак $c$ и одсечак $\frac{a - b}{2}$ на дужој основици граде правоугли троугао. Код ромба се дијагонале полове под правим углом, па страницу налазите из половина дијагонала.

Дужа основица a40 m

Краћа основица b22 m

Висина h12 m

Крак c: 15 m
Површина P: 372 m²
Обим O: 92 m

Испрекидана висина одсеца на дужој основици

\frac{a - b}{2}

и са краком гради правоугли троугао. За

a = 40

,

b = 22

и

h = 12

крак је 15 m, а површина 372 m², као у примеру.

Ове формуле користе геометри кад мере плацеве неправилног облика, мајстори кад рачунају плочице за под и кровопокривачи кад рачунају површину кровних равни у облику трапеза.

Плац у облику трапеза

Плац има облик једнакокраког трапеза: основице су 40 m и 22 m, а краци по 15 m. Колика је површина плаца и колико метара ограде треба око њега?

Решење

Висина спуштена из темена краће основице одсеца на дужој основици $\frac{a - b}{2} = \frac{40 - 22}{2} = 9$ m.
Висина, крак и тај одсечак чине правоугли троугао: $h^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ , па је $h = 12$ m.
Површина: $P = \frac{40 + 22}{2} \cdot 12 = 31 \cdot 12 = 372$ m².
Ограда иде по обиму: $O = 40 + 22 + 15 + 15 = 92$ m.

Одговор: Плац има површину 372 m², а за ограду треба 92 m.

Задатак за вежбу

Који многоугао има укупно 27 дијагонала? Колики је збир његових унутрашњих углова?

Прикажи решење

$\frac{n(n - 3)}{2} = 27$ , па је $n(n - 3) = 54 = 9 \cdot 6$ и $n = 9$ : то је деветоугао. Збир углова: $(9 - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ .