Линеарне неједначине – решени задаци

Решени задаци из збирке за завршни испит. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Реши неједначине:
$1)4x - 5 > - 3x - \left( {1 - 6x} \right)$
$2)\frac{x}{2} + \frac{x}{4} \geqslant 1$
$3){\left( {x + 1} \right)^2} - 3 \geqslant x\left( {x + 3} \right)$
$4)\left( {2x - 3} \right)\left( {3x + 2} \right) < \left( {x - 5} \right)\left( {6x + 1} \right)$
$5)\frac{{5x - 6}}{2} - \frac{{3x + 2}}{4} > \frac{{x - 7}}{4}$
$6)x:\left( { - 2\frac{3}{4}} \right) \geqslant 1$
$7)1\frac{{11}}{{27}} - 2\frac{1}{9}x \leqslant 0$
$8)1 + x < - 2\frac{1}{2}$
$9) - 2\frac{5}{6} + x < - 1\frac{2}{3}$
$10)3 + x < - 1\frac{2}{3}$
$11)x - \left( {2,6 - 3\frac{1}{2}} \right) \leqslant \frac{7}{{10}}$
$12) - \frac{3}{5}x \leqslant \frac{6}{{10}}$
$13)2\frac{5}{4} - 3\frac{1}{7}x \geqslant 0$
$14)2x + 1 > - 5x + 7$
$15)4x - 5 > - 3x - \left( {1 - 6x} \right)$
$16)\frac{x}{2} + \frac{x}{4} \geqslant 1$

Одреди скуп заједничких решења неједначина:

$2x - 3 \geqslant 1$ и $9 - 2x > 1$ .

Реши неједначине и њихове скупове решења прикажи на бројевној правој:

$\frac{{2x - 3}}{2} - \frac{{x + 1}}{3} \leqslant x$

Линеарну неједначину решавате као једначину: средите заграде, помножите најмањим заједничким садржаоцем именилаца, непознате пребаците на једну страну. Једна разлика је пресудна: кад обе стране множите или делите негативним бројем, знак неједнакости се окреће. Из $-3x > 12$ следи $x < -4$ .

Решење није један број него скуп, најчешће полуправа на бројевној правој. За $<$ и $>$ крај је празан кружић (тај број није решење), а за $\leq$ и $\geq$ пун кружић. Кад се траже заједничка решења две неједначине, решите сваку посебно и узмите пресек: $x > -1$ и $x \leq 3$ дају $-1 < x \leq 3$ . Ако се $x$ потпуно скрати, проверите да ли је преостала неједнакост тачна: тада су решење сви бројеви или ниједан.

Множилац k−2

Број a1

Број b3

b − a: 2
k·b − k·a: −4

Поставите

a < b

. Док је

k

позитивно,

k \cdot a

остаје лево од

k \cdot b

. Кад

k

постане негативно, те две тачке замене места: зато се при множењу или дељењу негативним бројем знак неједнакости окреће.

Неједначине одговарају на питања „највише“ и „најмање“: колико километара може да се пређе са горивом у резервоару, колико производа стаје у буџет или колико поена треба на тесту за жељену оцену.

Лампица за гориво

Ауто има 50 l горива у резервоару и троши 6 l на 100 km, односно 0,06 l по километру. Лампица за резерву се пали кад у резервоару остане мање од 8 l. Колико највише километара може да пређе пре него што се лампица упали?

Решење

После $x$ пређених километара у резервоару је $50 - 0{,}06x$ литара. Лампица не сме да се упали: $50 - 0{,}06x \geq 8$ .
Одузмемо 50 од обе стране: $-0{,}06x \geq -42$ .
Делимо са $-0{,}06$ , негативним бројем, па се знак окреће: $x \leq \frac{-42}{-0{,}06} = 700$ .

Одговор: Ауто може да пређе највише 700 km пре него што се упали лампица за резерву.

Задатак за вежбу

Одредите скуп заједничких решења неједначина $3x - 2 > 4$ и $10 - 2x \geq 0$ . Који цели бројеви припадају том скупу?

Прикажи решење

Из прве: $3x > 6$ , па $x > 2$ . Из друге: $-2x \geq -10$ , па $x \leq 5$ (знак се окренуо). Заједничка решења су $2 < x \leq 5$ , а цели бројеви међу њима су 3, 4 и 5.