Призма, пирамида

Решени задаци. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Израчунај површину правилне четворостране призме основне ивице 5 cm и запремине 250 cm³ .

Пр.2) Израчунај површину и запремину правилне тростране једнакоивичне призме ако је површина њеног омотача 108 cm² .

Пр.3) Површина омотача правилне шестостране призме је 48 cm², а висина призме једнака је двострукој основној ивици. Израчунај површину и запремину призме.

Пр.4) Одреди површину и запремину праве призме чија је основа једнакокраки трапез са основицама 11 cm и 3 cm и краком 5 cm. Висина призме је 10 cm.

Пр.5) Површина већег дијагоналног пресека правилне шестостране призме је 42 cm², а висина призме једнака је 7 cm. Израчунај површину и запремину призме.

Пр.6) Запремина правилне четворостране пирамиде је 48 cm³. Ако је основна ивица $a = 6cm$ одреди:

висину $H$ ,
апотему,
површину пирамиде.

Пр.7) Израчунај запремину правилне тростране пирамиде ако је површина њене основе $36\sqrt 3 c{m^2}$ , а површина омотача 72 cm² .

Пр.8) Израчунај површину и запремину правилне шестостране пирамиде ако је површина основе $72\sqrt 3 c{m^2}$ а висина пирамиде 8 cm.

Призма има две подударне основе и омотач од правоугаоника: $P = 2B + M$ и $V = B \cdot H$ . Пирамида има једну основу и омотач од троуглова: $P = B + M$ и $V = \frac{1}{3} B \cdot H$ . Код правилних тела основа је правилан многоугао: квадрат $B = a^2$ , једнакостранични троугао $B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , шестоугао $B = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ . Омотач праве призме је обим основе пута висина, на пример $M = 4aH$ за четворострану.

Код пирамиде апотему $h$ налазите из правоуглог троугла са висином $H$ и полупречником уписаног круга основе; за квадрат је $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ . Кад је дата запремина, висину добијате из $H = \frac{3V}{B}$ . Честе грешке су заборављена $\frac{1}{3}$ у запремини пирамиде и замена $H$ и $h$ .

Основна ивица a10 cm

Висина H12 cm

Запремина пирамиде V: 400 cm³
Призма исте основе B · H: 1200 cm³
Апотема h: 13 cm
Површина пирамиде P: 360 cm²

Призма исте основе и висине има запремину

B \cdot H

, а пирамида увек тачно трећину тога. За

a = 10

и

H = 12

пирамида има 400 cm³, као у задатку за вежбу.

Запремину призме рачунају грађевинари кад наручују бетон за темеље и зидове и инжењери кад пројектују базене и канале, а површину произвођачи амбалаже кад рачунају потребан картон.

Вода у градском базену

Базен је дугачак 25 m и широк 10 m. Дно је косо: дубина равномерно расте од 1,2 m на плитком крају до 2 m на дубоком. Колико кубних метара, односно литара, воде треба да би се базен напунио до врха?

Решење

Базен је права призма. Основа јој је бочна страна базена, трапез са основицама 1,2 m и 2 m и висином 25 m, а висина призме је ширина базена, 10 m.
Површина основе: $B = \frac{1{,}2 + 2}{2} \cdot 25 = 1{,}6 \cdot 25 = 40$ m².
Запремина: $V = B \cdot H = 40 \cdot 10 = 400$ m³.
Пошто је 1 m³ = 1000 l, то је $400 \cdot 1000 = 400\,000$ литара.

Одговор: За пуњење базена треба 400 m³, односно 400.000 литара воде.

Задатак за вежбу

Запремина правилне четворостране пирамиде је 400 cm³, а основна ивица 10 cm. Израчунајте висину и површину пирамиде.

Прикажи решење

$H = \frac{3V}{a^2} = \frac{1200}{100} = 12$ cm. $h^2 = 12^2 + 5^2 = 169$ , $h = 13$ cm, па је $P = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 13 = 100 + 260 = 360$ cm².