Купа – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

КУПА

Купа је геометријско тело које се састоји из основе и омотача. Основа купе је круг, док је омотач обртна конусна површ.

Висина купе спаја врх купе и центар круга који је у основи купе.

Изводница купе је дуж која спаја врх купе и кружницу у основи.

327

328

Мрежа купе:

329

Купа има основу, круг полупречника $r$ , и омотач који се развија у кружни исечак. Висина $H$ спаја врх са центром основе, а изводница $s$ спаја врх са кружницом основе. Њих повезује Питагорина теорема: $s^2 = r^2 + H^2$ .

Омотач је $M = r\pi s$ , површина $P = B + M = r^2\pi + r\pi s$ , а запремина $V = \frac{1}{3}r^2\pi H$ , трећина запремине ваљка са истом основом и висином. Осни пресек је једнакокраки троугао са основицом $2r$ и крацима $s$ , површине $rH$ . Купа је једнакостранична ако је $s = 2r$ . Пазите да у омотачу стоји изводница $s$ , а у запремини висина $H$ .

Полупречник r3 m

Висина H4 m

Изводница s: 5 m
Омотач M: 47,1 m²
Површина P: 75,4 m²
Запремина V: 37,7 m³

Полупречник

r

, висина

H

и изводница

s

граде правоугли троугао, па за

r = 3

и

H = 4

добијате

s = 5

. Укључите мрежу: омотач је кружни исечак чији је полупречник изводница

s

.

Купу срећете у левковима, корнетима, саобраћајним чуњевима, шаторима и гомилама песка или шљунка, чију запремину грађевинари процењују управо формулом за купу.

Шатор у облику купе

Шатор има облик купе са пречником основе 6 m и висином 4 m. Колико платна је потребно за омотач и под шатора?

Решење

Полупречник је $r = 3$ m, а изводница $s = \sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ m.
Омотач: $M = r\pi s = 3\pi \cdot 5 = 15\pi$ m².
Под је основа: $B = r^2\pi = 9\pi$ m².
Укупно: $P = B + M = 9\pi + 15\pi = 24\pi \approx 75{,}4$ m².

Одговор: За шатор је потребно око 75,4 m² платна.

Задатак за вежбу

Гомила песка на градилишту има облик купе са пречником основе 4 m и висином 1,2 m. Колико кубних метара песка има у гомили?

Прикажи решење

$r = 2$ m, па је $V = \frac{1}{3}r^2\pi H = \frac{1}{3} \cdot 4\pi \cdot 1{,}2 = 1{,}6\pi \approx 5{,}03$ m³.