Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Лопта – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

ЛОПТА

Лопта је геометријско тело ограничено сфером (омотачем лопте).

Сфера је скуп тачака једнако удаљених од неке тачке у простору (удаљеност обележавамо са rr), док лопти припадају све тачке које су на мањој или једнакој удаљености од rr од те тачке ( центра лопте ).

Велики круг лопте добија се када се лопта пресече са равни тако да та раван садржи центар.

 330

 331

332

Сфера је скуп тачака простора на растојању rr од центра, а лопта је тело које сфера ограничава. Лопта настаје обртањем полукруга око пречника. Површина лопте је P=4r2πP = 4r^2\pi, а запремина V=43r3πV = \frac{4}{3}r^3\pi. Велики круг, пресек кроз центар, има површину r2πr^2\pi, па је површина лопте четири пута већа од површине великог круга.

Кад раван сече лопту полупречника RR на растојању dd од центра, пресек је круг полупречника rr, а R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2. Пазите на степене: површина зависи од r2r^2, а запремина од r3r^3, па лопта са два пута већим полупречником има осам пута већу запремину.

r
11 cm
Површина великог круга
380,1 cm²
Површина P
1520,5 cm²
Запремина V
5575,3 cm³
Удвостручите полупречник, на пример са 5 на 10 cm: површина постаје 4 пута већа, а запремина 8 пута већа. Површина лопте је увек једнака површини четири велика круга.

Формуле за лопту користе произвођачи спортских лопти, инжењери кад пројектују сферне резервоаре за гас, а у географији се њима процењује површина Земље.

Фудбалска лопта

Фудбалска лопта има пречник 22 cm. Колико материјала је потребно за њену површину и колико ваздуха стане у њу?

Решење

  1. Полупречник је r=22:2=11r = 22 : 2 = 11 cm.
  2. Површина: P=4r2π=4⋅121π=484π≈1520,5P = 4r^2\pi = 4 \cdot 121\pi = 484\pi \approx 1520{,}5 cm².
  3. Запремина: V=43r3π=43⋅1331π=53243π≈5575,3V = \frac{4}{3}r^3\pi = \frac{4}{3} \cdot 1331\pi = \frac{5324}{3}\pi \approx 5575{,}3 cm³.

Одговор: За површину лопте треба око 1520,5 cm² материјала, а у њу стане око 5575 cm³, односно око 5,6 l ваздуха.

Задатак за вежбу

Лубеница облика лопте полупречника 13 cm пресечена је ножем на 5 cm од центра. Колики је полупречник пресека и колика је његова површина?

Прикажи решење

r=R2−d2=169−25=144=12r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm, а површина пресека је r2π=144π≈452,4r^2\pi = 144\pi \approx 452{,}4 cm².