Круг

Кружница, круг, централни и периферијски угао. Кружница и правилни многоуглови. Решени задаци. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Обим круга је $21,98cm$ . Израчунати дужину кружног лука који одговара централном углу од ${36^ \circ }$ .

Пр.2) Одреди обим и површину описаног и уписаног круга једнакостраничног троугла ако је висина троугла $6cm$ .

Пр.3) Површина кружног исечка је $1,6\pi {cm^2}$ . Ако је полупречник круга $4cm$ израчунај централни угао који одговара том кружном исечку.

Пр.4) Одреди обим и површину описаног и уписаног круга правилног шестоугла ако је страница шестоугла $4cm$ .

Пр.5) Одреди обим и површину описаног и уписаног круга квадрата ако му је страница $8cm$ .

Пр.6) Површина круга је $16\pi {cm^2}$ . Израчунај:

Обим круга
Дужину кружног лука ако је централни угао ${30^ \circ }$ .

Пр.7) Површина кружног исечка је $62,8cm^2$ а централни угао ${72^ \circ }$ .Израчунај

полупречник круга
обим круга
обим исечка.

Пр.8) Израчунај површину осеченог дела са слике ако је страница квадрата $4cm$ .

351

Пр.9) Израчунај површину осеченог дела са слике ако је страница квадрата $6cm$ .

352

Пр.10) Израчунај површину осеченог дела са слике ако је страница квадрата $4cm$ .

353

Обим круга полупречника $r$ је $O = 2r\pi$ , а површина $P = r^2\pi$ . Централни угао $\alpha$ одсеца део круга сразмеран углу: дужина кружног лука је $l = \frac{r\pi\alpha}{180^\circ}$ , а површина кружног исечка $P_i = \frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ}$ . Обим исечка чине два полупречника и лук: $O_i = 2r + l$ .

За уписане и описане кругове запамтите: код квадрата странице $a$ је $r = \frac{a}{2}$ и $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ , код једнакостраничног троугла висине $h$ је $r = \frac{h}{3}$ и $R = \frac{2h}{3}$ , а код правилног шестоугла $R = a$ и $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Површину осенченог дела добијате одузимањем: од целе фигуре одузмите оно што није осенчено. Резултат остављајте са $\pi$ , осим кад се тражи $\pi \approx 3{,}14$ .

Полупречник r6 m

Централни угао α120°

Дужина лука l: 12,57 m
Површина исечка: 37,7 m²
Површина целог круга: 113,1 m²

Лук и исечак расту сразмерно централном углу: за

120^\circ

су трећина обима и трећина површине круга. За

r = 6

и

\alpha = 120^\circ

добијате прскалицу из примера.

Формуле за круг користе пројектанти наводњавања (прскалица залива кружни исечак), пекари и пицерије кад деле тесто на једнаке делове и инжењери кад рачунају обим точкова и пресек цеви.

Прскалица у дворишту

Прскалица за травњак окреће се лево-десно за угао од $120^\circ$ и баца воду до 6 m далеко. Колику површину травњака залива и колико је дугачак лук на ивици заливеног дела?

Решење

Заливени део је кружни исечак са $r = 6$ m и централним углом $\alpha = 120^\circ$ , што је трећина круга.
Површина исечка: $P_i = \frac{6^2 \cdot \pi \cdot 120^\circ}{360^\circ} = 12\pi \approx 37{,}70$ m².
Дужина лука: $l = \frac{6 \cdot \pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = 4\pi \approx 12{,}57$ m.

Одговор: Прскалица залива $12\pi \approx 37{,}7$ m² травњака, а лук на ивици је дугачак $4\pi \approx 12{,}6$ m.

Задатак за вежбу

Пица пречника 30 cm исечена је на 6 једнаких парчади. Колика је површина једног парчета?

Прикажи решење

$r = 15$ cm и $\alpha = 360^\circ : 6 = 60^\circ$ , па је $P_i = \frac{15^2 \pi \cdot 60^\circ}{360^\circ} = 37{,}5\pi \approx 117{,}8$ cm².