Линеарна функција

Решени задаци из збирке за завршни испит. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Дате су функције у имплицитном облику:

$а)2x - 2y + 4 = 0$

$b)3x - y - 4 = 0$

$c)5x - 2y - 3 = 0$

$d)14x + 7y - 21 = 0$

$e)\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}y + 1 = 0.$

Написати ове функције у експлицитном облику, а затим нацртати њихове графике.

Пр.2) Дата је функција $x + 2y - 4 = 0$ .

а) Представити функцију у експлицитном облику:

б) Одреди пресеке графика функције са координатним осама.

в) Нацртати график функције.

Пр.3) Одреди линеарну функцију $y = kx + n$ чији график садржи тачку А(-1;-5) и паралелан је графику функције $y = 2x + 10$ .

Пр.4) Који од нацртаних графика представља график функције $y = 2x + 1$ ?

333

334

335

Пр. 5) Која једначина одговара нацртаном графику?

336

Пр.6) Која од наведених једначина одговара графику?

а) $y = x$

б) $y = - x$

в) $y = x + 2$

г) $y = x - 2$

д) $y = - x - 2$

ђ) $y = - x + 2$

337

Пр.7) Одреди линеарну функцију чији график садржи тачке А(-3;1) и В(1;2). Прикажи паступак.

Пр.8) Дејена држе врх оловке у координатном почетку (тачка О). Затим се креће 8 мерних јединица удесно и 6 мерних јединица вертикално нагоре и тако долази у тачку А. Одреди координате тај тачке користиће координатни систем.

Линеарна функција има облик $y = kx + n$ . Број $k$ је коефицијент правца: за $k > 0$ функција расте, за $k < 0$ опада, а што је $|k|$ веће, права је стрмија. Број $n$ је одсечак на $y$ -оси, па график пролази кроз тачку $(0; n)$ . Нулу функције добијате из $y = 0$ : $x = -\frac{n}{k}$ .

Имплицитни облик, на пример $2x + y - 6 = 0$ , пребаците у експлицитни тако што изразите $y$ : $y = -2x + 6$ . Паралелне праве имају исто $k$ . Кад график садржи тачку $A(x_0; y_0)$ , уврстите њене координате у $y = kx + n$ ; за две тачке добијате систем једначина по $k$ и $n$ . Честа грешка: кад делите коефицијентом уз $y$ , поделите сваки члан, а не само један.

Коефицијент правца k1

Одсечак n2

Нула функције: −2
Вредност у x = 2: 4

Са

n

се права помера горе-доле и остаје паралелна док не промените

k

, а са

k

се окреће. За

k = -3

и

n = 7

права је паралелна испрекиданој

y = -3x + 2

и пролази кроз

A(2; 1)

, као у задатку за вежбу.

Линеарном функцијом описују се цене са сталним и променљивим делом, као што су такси (старт плус цена по километру) или рачун за воду, али и равномерно кретање, где пређени пут расте једнако сваког сата.

Цена такси вожње

Такси вожња од 4 km кошта 700 динара, а вожња од 10 km 1300 динара. Цена је линеарна функција пређеног пута, $y = kx + n$ . Колики је старт, колико кошта километар и колико ћете платити вожњу од 15 km?

Решење

Тачке $(4; 700)$ и $(10; 1300)$ леже на графику: $4k + n = 700$ и $10k + n = 1300$ .
Одузмемо прву једначину од друге: $6k = 600$ , па је $k = 100$ динара по километру.
Из прве: $n = 700 - 4 \cdot 100 = 300$ динара. Функција је $y = 100x + 300$ .
За 15 km: $y = 100 \cdot 15 + 300 = 1800$ динара.

Одговор: Старт је 300 динара, километар кошта 100 динара, а вожња од 15 km кошта 1800 динара.

Задатак за вежбу

Одредите линеарну функцију чији је график паралелан графику функције $y = -3x + 2$ и садржи тачку $A(2; 1)$ . Где тај график сече $x$ -осу?

Прикажи решење

Паралелна права има $k = -3$ . Из $1 = -3 \cdot 2 + n$ следи $n = 7$ , па је $y = -3x + 7$ . Нула: $-3x + 7 = 0$ , $x = \frac{7}{3}$ .