Делимично кореновање и рациналисање имениоца

Делимично кореновање и рациналисање имениоца. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Упростити израз:

а) $\sqrt {75} + 2\sqrt {27} =$

б) $2\sqrt {20} - 3\sqrt {125} =$

в)

4\sqrt {12} + \sqrt {147} - 5\sqrt {108} =

Пр.2) Рационалисати имениоце:

а)

\frac{1}{{\sqrt 3 }} =

б) $\frac{5}{{\sqrt 5 }} =$

в)

\frac{6}{{\sqrt 3 }} =

Пр.1) Упростити израз:

а) $\sqrt {75} + 2\sqrt {27} = \sqrt {25} \cdot \sqrt 3 + 2\sqrt 9 \cdot \sqrt 3 = 5\sqrt 3 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt 3 =$

$= 5\sqrt 3 + 6\sqrt 3 = 11\sqrt 3$

б) $2\sqrt {20} - 3\sqrt {125} = 2\sqrt 4 \cdot \sqrt 5 - 3\sqrt {25} \cdot \sqrt 5 = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 - 3 \cdot 5 \cdot \sqrt 5 =$

$= 4\sqrt 5 - 15\sqrt 5 = - 11\sqrt 5$

в)

4\sqrt {12} + \sqrt {147} - 5\sqrt {108} = 4\sqrt 4 \cdot \sqrt 3 + \sqrt {49} \cdot \sqrt 3 - 5\sqrt {36} \cdot \sqrt 3 =

= 4 \cdot 2 \cdot \sqrt 3 + 7 \cdot \sqrt 3 - 5 \cdot 6 \cdot \sqrt 3 = 8 \cdot \sqrt 3 + 7 \cdot \sqrt 3 - 30 \cdot \sqrt 3 = - 15\sqrt 3

Пр.2) Рационалисати имениоце:

а)

\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}

б) $\frac{5}{{\sqrt 5 }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{5\sqrt 5 }}{5} = \sqrt 5$

в)

\frac{6}{{\sqrt 3 }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3

Делимично кореновање извлачи испред корена чинилац који је потпун квадрат: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ за $a, b \ge 0$ . Тако је $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ . Под кореном потражите највећи квадрат који дели број: 4, 9, 16, 25, 36, 49… Изрази са истим кореном сабирају се као исте јединице мере: $5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$ , као што је 5 kg + 6 kg = 11 kg. Различити корени, као $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ , не спајају се.

Рационалисање уклања корен из имениоца: разломак проширите тим кореном, $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ . Честа грешка је извући само део квадрата: $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ није до краја сређено, јер је $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .

Малих квадрата у реду k5

Површина малог квадрата m2

Површина k²m: 50
Страница k√m: 7,071
Малих квадрата k²: 25

Велики квадрат површине

k^2 m

сложен је од

k^2

малих квадрата површине

m

. Страница малог је

\sqrt{m}

, а у реду их има

k

, па је

\sqrt{k^2 m} = k\sqrt{m}

. За

k = 5

и

m = 2

то је

\sqrt{50} = 5\sqrt{2}

из примера.

У техничким прорачунима мајстори и инжењери задржавају тачан облик, на пример $5\sqrt{2}$ m, и заокружују тек на крају, да се грешке заокруживања не би гомилале.

Ивичњак уз два травњака

Два квадратна травњака, површина 50 m² и 18 m², леже један до другог, тако да им се доње ивице настављају у праву линију. Дуж те линије поставља се ивичњак. Колико је дугачак ивичњак? Израчунајте тачно, па приближно.

Решење

Странице травњака су $\sqrt{50}$ m и $\sqrt{18}$ m, па је ивичњак дугачак $\sqrt{50} + \sqrt{18}$ m.
Делимично кореновање: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ и $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ .
Корени су исти, па их сабирамо: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ m.
Са $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ добијамо $8\sqrt{2} \approx 11{,}31$ m.

Одговор: Ивичњак је дугачак тачно $8\sqrt{2}$ m, приближно 11,31 m.

Задатак за вежбу

Упростите $\sqrt{48} - 2\sqrt{12} + \frac{15}{\sqrt{3}}$ .

Прикажи решење

$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ , $2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ и $\frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ , па је резултат $4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .