Углови многоугла

Дефиниције, формуле, примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Израчунати збир унутрашњих углова у конвексном:

(а) седмоуглу (б) десетоуглу (в) седамнаестоуглу.

Пр.2) Збир унутрашњих углова у конвексном многоуглу износи:

(а) ${720^ \circ }$ (б) ${1800^ \circ }$ .

Који је то мнноугао?

Пр.3) Да ли постоји конвексан многоугао чији је збир унутрашњих углова:

(а) ${1440^ \circ }$ (б) ${1000^ \circ }$ ?

Пр.4) Израчунати све унутрашњи углове конвексног шестоугла ако су мере четири угла ${100^ \circ }{,83^ \circ }{,102^ \circ }{,136^ \circ }$ , а преостала два су међусобно једнака.

Пр.1)

$\begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\underline {n = 7} \\ &{S_n} = ? \\ &{S_7} = \left( {7 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_7} = {900^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\underline {n = 10} \\ &{S_n} = ? \\ &{S_7} = \left( {10 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_7} = {1440^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\underline {n = 17} \\ &{S_n} = ? \\ &{S_{17}} = \left( {17 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_7} = {2700^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\underline {{S_n} = {{720}^ \circ }} \\ &n = ? \\ &{720^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &n - 2 = \frac{{{{720}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \\ &n - 2 = 4 \\ &n = 6\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\underline {{S_n} = {{1800}^ \circ }} \\ &n = ? \\ &{1800^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &n - 2 = \frac{{{{1800}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \\ &n - 2 = 10 \\ &n = 12\end{aligned} &{}&{} \end{array}\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\underline {{S_n} = {{1440}^ \circ }} \\ &n = ? \\ &n \in \mathbb{N},n \geqslant 3 \\ &{1440^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &n - 2 = \frac{{{{1440}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \\ &n - 2 = 8 \\ &n = 8 + 2 \\ &n = 10\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\underline {{S_n} = {{1000}^ \circ }} \\ &n = ? \\ &n \in \mathbb{N},n \geqslant 3 \\ &{1000^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &n - 2 = \frac{{{{1000}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \\ &n - 2 = \frac{{50}}{9} \\ &n = \frac{{50}}{9} + 2 \\ &n = 7\frac{5}{9}\end{aligned} &{}&\begin{aligned}\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$

постоји не постоји

Пр.4)

$\begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_6} = \left( {6 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_6} = 4 \cdot {180^ \circ } \\ &{S_6} = {720^ \circ }\end{aligned}$

${100^ \circ } + {83^ \circ } + {102^ \circ } + {136^ \circ } + x + x = {720^ \circ }$
${421^ \circ } + 2x = {720^ \circ }$
$2x = {720^ \circ } - {421^ \circ }$
$2x = {299^ \circ }$
$x = {149^ \circ }30'$

Збир унутрашњих углова конвексног $n$ -тоугла је $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$ . Дијагонале из једног темена деле многоугао на $n - 2$ троугла, а збир углова сваког троугла је $180^\circ$ . Тако петоугао има збир $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$ , а шестоугао $720^\circ$ .

Формулу користите и обрнуто: ако је збир $1260^\circ$ , онда је $n - 2 = 1260^\circ : 180^\circ = 7$ , па је $n = 9$ . Ако тај количник није природан број, такав многоугао не постоји. Кад су неки углови познати, а остали једнаки, напишите једначину у којој је збир свих углова једнак $S_n$ . Не мешајте унутрашње и спољашње углове: збир спољашњих углова конвексног многоугла је увек $360^\circ$ .

Збир пет углова: 540°
(5 − 2) · 180°: 540°

Почетни петоугао има углове парцеле из примера. Како год да померате темена, збир углова остаје

540^\circ

: испрекидане дијагонале из темена

A

деле петоугао на 3 троугла, а

3 \cdot 180^\circ = 540^\circ

.

Геометри овако проверавају мерења парцела: збир измерених углова мора бити $(n - 2) \cdot 180^\circ$ , па се грешка одмах види. Столари и грађевинари истим рачуном одређују углове оквира, ограда и подова неправилног облика.

Пети угао парцеле

Геометар мери углове парцеле која има облик конвексног петоугла. Четири угла износе $100^\circ$ , $110^\circ$ , $120^\circ$ и $95^\circ$ . Колики мора бити пети угао?

Решење

Збир унутрашњих углова петоугла је $S_5 = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$ .
Збир четири измерена угла је $100^\circ + 110^\circ + 120^\circ + 95^\circ = 425^\circ$ .
Пети угао је $540^\circ - 425^\circ = 115^\circ$ .

Одговор: Пети угао парцеле мора бити $115^\circ$ ; ако геометар измери другу вредност, негде је погрешио.

Задатак за вежбу

Да ли постоји конвексан многоугао чији је збир унутрашњих углова $2340^\circ$ ? А $2000^\circ$ ?

Прикажи решење

$2340^\circ : 180^\circ = 13$ , па је $n - 2 = 13$ и $n = 15$ : постоји, то је петнаестоугао. $2000^\circ : 180^\circ = 11\frac{1}{9}$ није природан број, па такав многоугао не постоји.