Правилни многоуглови – први део

Дефиниције, формуле, примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Израчунати унутрашњи и спољашни угао правилног:

(а) осмоугла (б) петнаестоугла.

Пр.2) Израчунати централни угао правилног:

(а) деветоугла (б) дванаестоугла.

Пр.1)

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\underline {n = 11} \\ &\alpha ,{\alpha _1} = ? \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{8} \\ &{\alpha _1} = {45^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \\ &\alpha = {180^ \circ } - {45^ \circ } \\ &\alpha = {135^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned} &\begin{aligned}&\underline {n = 15} \\ &\alpha ,{\alpha _1} = ? \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{15}} \\ &{\alpha _1} = {24^ \circ }\end{aligned} &\begin{aligned}&\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \\ &\alpha = {180^ \circ } - {24^ \circ } \\ &\alpha = {156^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned} \end{array}$

Пр.2)

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\underline {n = 11} \\ &\varphi = ? \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{9} \\ &\varphi = {40^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\underline {n = 12} \\ &\varphi = ? \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{12}} \\ &\varphi = {30^ \circ }\end{aligned} \end{array}$

Правилан многоугао има све странице једнаке и све углове једнаке. Централни угао $\varphi$ је угао под којим се једна страница види из центра. Пун угао око центра дели се на $n$ једнаких делова, па је $\varphi = \frac{360^\circ}{n}$ . Спољашњи угао $\alpha_1$ је исте величине, $\alpha_1 = \frac{360^\circ}{n}$ , јер има $n$ једнаких спољашњих углова, а збир им је $360^\circ$ .

Унутрашњи угао је напоредан спољашњем: $\alpha = 180^\circ - \alpha_1$ . За правилан десетоугао је $\alpha_1 = 36^\circ$ и $\alpha = 144^\circ$ . Исто даје и $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ . Не мешајте централни и унутрашњи угао: код правилног шестоугла централни је $60^\circ$ , а унутрашњи $120^\circ$ .

Број страница n12

Централни угао φ: 30°
Спољашњи угао α₁: 30°
Унутрашњи угао α: 150°

Зелени лук у центру је централни угао

\varphi

, љубичасти спољашњи угао

\alpha_1

, а црвени унутрашњи угао

\alpha

. Централни и спољашњи угао су увек једнаки, а спољашњи и унутрашњи заједно дају

180^\circ

.

Правилне многоуглове виђате на навртки, саобраћајном знаку „стоп“ и плочицама, а бројеви на сату стоје у теменима правилног дванаестоугла. Ко их црта или сече, као столар, бравар или дизајнер, мора да зна њихове углове.

Сат са рамом

Зидни сат има рам у облику правилног дванаестоугла, а бројеви од 1 до 12 стоје у његовим теменима. За колико степени се окрене казаљка за сате за један сат? Колики су спољашњи и унутрашњи угао рама?

Решење

За један сат казаљка пређе са једног темена на суседно, а то је централни угао: $\varphi = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ .
Спољашњи угао правилног дванаестоугла је исте величине: $\alpha_1 = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ .
Унутрашњи угао је напоредан спољашњем: $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ .
Провера: $\frac{(12 - 2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ$ .

Одговор: Казаљка за сате се за један сат окрене за $30^\circ$ ; спољашњи угао рама је $30^\circ$ , а унутрашњи $150^\circ$ .

Задатак за вежбу

Израчунајте централни, спољашњи и унутрашњи угао правилног петоугла.

Прикажи решење

$\varphi = \alpha_1 = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ , а $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .