Примена Питагорине теореме на једнакокраки троугао

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Израчунати крак једнакокракок троугла чија је основица 6cm, а

висина која одновара основици 4cm.

Пр.2) Израчунати обим и површину једнакокраког троугла чији је крак

17cm, а висина која одговара основици 15cm.

Пр.3) Ако је крак једнакокракок троугла 10cm, а основица 12cm,

израчунати:

а) обим б) површину в) висину која одговара краку тог троугла

Пр.4) Обим једнакокраког троугла је 42cm, а основица је за 6cm дужа од

крака. Израчунати површину тог троугла.

Пр.1)

603 png

$\begin{aligned}&a = 6cm \\ &\underline {{h_a} = 4cm} \\ &b = ? \\ & \\ &{b^2} = {h_a}^2 + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{b^2} = {4^2} + {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} = 16 + 9 = 25 \\ &b = 5cm\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&b = 6cm \\ &\underline {{h_a} = 4cm} \\ &O = ?P = ? \\ & \\ &{b^2} = {h_a}^2 + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{17^2} = {15^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = 289 - 225 = 64 \\ &\frac{a}{2} = 8 \\ &a = 16cm \\ & \\ &O = a + 2b = 16 + 2 \cdot 17 = 16 + 34 = 50cm \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{16 \cdot 15}}{2} = 120c{m^2}\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&a = 12cm \\ &\underline {b = 10cm} \\ &O = ?P = ?{h_b} = ? \\ & \\ &{b^2} = {h_a}^2 + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{10^2} = {h_a}^2 + {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} \\ &{h_a}^2 = 100 - 36 = 64 \\ &{h_a} = 8cm \\ & \\ &O = a + 2b = 12 + 2 \cdot 10 = 12 + 20 = 32cm \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{12 \cdot 8}}{2} = 48c{m^2} \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{b{h_b}}}{2} \\ &48 = \frac{{10{h_b}}}{2} \\ &{h_b} = \frac{{48 \cdot 2}}{{10}} = 9,6cm\end{aligned}$

Пр.4)

$\begin{aligned}&O = 42cm \\ &\underline {a = b + 6} \\ &P = ? \\ & \\ &O = a + 2b \\ &42 = b + 6 + 2 \cdot b = 3b + 6 \\ &3b = 42 - 6 \\ &b = 12cm \\ & \\ &a = 12 + 6 = 18cm \\ &{b^2} = {h_a}^2 + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{12^2} = {h_a}^2 + {\left( {\frac{{18}}{2}} \right)^2} \\ &{h_a}^2 = 144 - 81 = 63 \\ &{h_a} = \sqrt {63} = 3\sqrt 7 cm \\ & \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{18 \cdot 3\sqrt 7 }}{2} = 27\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$

Висина једнакокраког троугла на основицу полови основицу и дели троугао на два подударна правоугла троугла. У сваком је крак $b$ хипотенуза, а висина $h_a$ и половина основице $\frac{a}{2}$ катете: $b^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ . Из ове везе рачунате крак, висину или основицу, а затим $O = a + 2b$ и $P = \frac{a \cdot h_a}{2}$ .

Висину на крак добијате из површине: $P = \frac{b \cdot h_b}{2}$ , па је $h_b = \frac{2P}{b}$ . Кад је задат обим или веза између основице и крака, прво израчунајте странице. Најчешћа грешка је да се у Питагорину теорему стави цела основица уместо њене половине.

Крак b2,5 m

Размак ножица a1,4 m

Висина h: 2,4 m
Површина P: 1,68 m²

Почетни положај је из примера: краци 2,5 m и размак ножица 1,4 m дају висину 2,4 m. Што више размакнете ножице, мердевине су ниже, а увек важи

b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2

.

Једнакокраки троугао је у забату крова, у дводелним мердевинама и у носачима кровова и мостова, па се висина и дужина греда рачунају овом везом.

Мердевине на расклапање

Дводелне мердевине имају краке дуге по 2,5 m. Кад се расклопе, ножице на поду су међусобно удаљене 1,4 m. Колико је висок врх мердевина изнад пода?

Решење

Краци и под чине једнакокраки троугао са краком $b = 2{,}5$ m и основицом $a = 1{,}4$ m. Висина из врха полови основицу: $\frac{a}{2} = 0{,}7$ m.
$h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2{,}5^2 - 0{,}7^2 = 6{,}25 - 0{,}49 = 5{,}76$ .
$h = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$ m.

Одговор: Врх мердевина је 2,4 m изнад пода.

Задатак за вежбу

Основица једнакокраког троугла је 10 cm, а крак 13 cm. Израчунајте висину на основицу, површину и висину на крак.

Прикажи решење

$h_a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm, $P = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60$ cm² и $h_b = \frac{2 \cdot 60}{13} = \frac{120}{13} \approx 9{,}23$ cm.