Примена Питагорине теореме на ромб

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Ако су дијагонале ромба 6cm и 8cm, израчунати обим тог ромба.

Пр.2)   Израчунати површину ромба чија је страница 13cm, а једна

           дијагонала 10cm.

Пр.3)   Површина ромба је $216c{m^2}$, а једна његова дијагонала 24cm.

           Израчунати обим и површину тог ромба.

Пр.4)   Израчунати површину ромба чији је обим 32cm, а један

           унутрашњи угао ${60^ \circ }$.

Пр.1)   

$$\begin{aligned}&{d_1} = 6cm \\ &\underline {{d_2} = 8cm} \\ &O = ? \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{a^2} = {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25 \\ &a = 5cm \\ &O = 4a = 4 \cdot 5 = 20cm\end{aligned}$$

Пр.2)   

$$\begin{aligned}&{d_1} = 10cm \\ &\underline {a = 13cm} \\ &P = ? \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{13^2} = {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &169 = {5^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &169 = 25 + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = 169 - 25 \\ &{\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = 144 \\ &\frac{{{d_2}}}{2} = 12 \\ &{d_2} = 12 \cdot 2 \\ &{d_2} = 24cm \\ &P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \\ &P = \frac{{10 \cdot 24}}{2} = 120cm\end{aligned}$$

Пр.3)   

$$\begin{aligned}&{d_1} = 24cm \\ &\underline {P = 216c{m^2}} \\ &O = ?h = ? \\ &P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \\ &216 = \frac{{24 \cdot {d_2}}}{2} \\ &{d_2} = \frac{{216 \cdot 2}}{{24}} \\ &{d_2} = 18cm \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{24}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{18}}{2}} \right)^2} \\ &{a^2} = {12^2} + {9^2} \\ &{a^2} = 144 + 81 \\ &{a^2} = 225 \\ &a = 15cm \\ &O = 4a = 4 \cdot 15 = 60cm \\ &P = ah \\ &216 = 15h \\ &h = 14,4cm\end{aligned}$$

Пр.4)  

$$\begin{aligned}&O = 32cm \\ &\underline {\alpha = {{60}^ \circ }} \\ &P = ? \\ &O = 4a \\ &32 = 4 \cdot a \\ &a = 8cm \\ &{P_r} = 2{P_{\vartriangle ABD}}\end{aligned}$$

$\vartriangle ABD$ једнакостранични троугол

$${P_r} = 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{8^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{64\sqrt 3 }}{2} = 32\sqrt 3 c{m^2}$$