Дијагонале и углови многоугла

Дефиниције, формуле, примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Ако су у конвексном многоуглу из једног темена може повући 7 дијагонала, одредити:

(а) који је то многоугао (б) збир његових унутрашњих углова (в) укупан број дијагонала.

Пр.2) Ако је збир унутрашњих углова у конвексном многоуглу износи ${1620^ \circ }$ , одреди:

(а) који је то многоугао (б) број дијагонала из једног темена (в) укупан број дијагонала.

Пр.3) Укупан број дијагонала у конвексном многоуглу износи 44, одреди:

(а) који је то многоугао (б) број дијагонала из једног темена (в) збир његових унутрашњих углова.

Пр.4) Одредити збир унутрашњих углова у многоуглу који има онолико страница колико укупно има дијагонала.

Пр.5) Који многоугао има 8 пута више дијагонала него што има страница?

Пр.6) Одредити укупан број дијагонала ногоугла код кога је разлика збир унутрашњих углова и збира спољашних углова једнака ${900^ \circ }$ .

Пр.1)

$\begin{aligned}&\underline {{d_n} = 7} \\ &n = ?{S_n} = ?{D_n} = ? \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{d_n} = n - 3 \\ &7 = n - 3 \\ &n = 7 + 3 \\ &n = 10\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{10}} = \left( {10 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{10}} = 8 \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{10}} = {1440^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{10}} = \frac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{10}} = \frac{{70}}{2} \\ &{D_{10}} = 35\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&\underline {{S_n} = {{1620}^ \circ }} \\ &n = ?{d_n} = ?{D_n} = ? \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{1620^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &n - 2 = \frac{{{{1620}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \\ &n - 2 = 9 \\ &n = 9 + 2 \\ &n = 11\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{d_n} = n - 3 \\ &{d_{11}} = 11 - 3 \\ &{d_{11}} = 8\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{11}} = \frac{{11\left( {11 - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{11}} = \frac{{88}}{2} \\ &{D_{11}} = 44\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&\underline {{D_n} = 44} \\ &n = ?{d_n} = ?{S_n} = ? \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &44 = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &n\left( {n - 3} \right) = 44 \cdot 2 \\ &n\left( {n - 3} \right) = 88 \\ &n\left( {n - 3} \right) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 \\ &n\left( {n - 3} \right) = 11 \cdot 8 \\ &n = 11\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{d_n} = n - 3 \\ &{d_{11}} = 11 - 3 \\ &{d_{11}} = 8\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{11}} = \left( {11 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{11}} = {1620^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$

Пр.4)

$\begin{aligned}&\underline {{D_n} = n} \\ &{S_n} = ? \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &n\left( {n - 3} \right) = 2n \\ &n - 3 = \frac{{2n}}{n} \\ &n - 3 = 2 \\ &n = 5\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_6} = \left( {6 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_6} = 4 \cdot {180^ \circ } \\ &{S_6} = {720^ \circ }\end{aligned} \end{array}\end{aligned}$

Пр.5)

$\begin{aligned}&\underline {{D_n} = 8n} \\ &n = ? \\ & \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &8n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &n\left( {n - 3} \right) = 16n \\ &n - 3 = \frac{{16n}}{n} \\ &n - 3 = 16 \\ &n = 19\end{aligned}$

Пр.6)

$\begin{aligned}&\underline {{S_n} - {S_n}^\prime = {{900}^ \circ }} \\ &{D_n} = ?\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{S_n} - {S_n}^\prime = {900^ \circ } \\ &{S_n} - {360^ \circ } = {900^ \circ } \\ &{S_n} = {900^ \circ } + {360^ \circ } \\ &{S_n} = {1260^ \circ } \\ &{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{1260^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &n - 2 = \frac{{{{1260}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \\ &n - 2 = 7 \\ &n = 7 + 2 \\ &n = 9 \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_n} = \frac{{9\left( {9 - 3} \right)}}{2} \\ &{D_n} = 27\end{aligned}$

Три формуле повезују број темена конвексног $n$ -тоугла са његовим дијагоналама и угловима: из једног темена полази $d_n = n - 3$ дијагонала, укупно их је $D_n = \frac{n(n - 3)}{2}$ , а збир унутрашњих углова је $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$ . Кад је дат било који од ових података, прво нађите $n$ , па из њега све остало.

Из $S_n = 1440^\circ$ следи $n - 2 = 8$ , односно $n = 10$ . Из $D_n = 65$ следи $n(n - 3) = 130$ : тражите два природна броја која се разликују за 3, а производ им је 130. То су 13 и 10, па је $n = 13$ . Збир спољашњих углова конвексног многоугла је увек $360^\circ$ , што помаже кад је дата разлика збира унутрашњих и спољашњих углова.

Број темена n9

Троуглова: 7
Збир углова: 1260°
Из једног темена: 6
Свих дијагонала: 27

Зелене дијагонале из темена

A

деле многоугао на

n - 2

троугла, зато је збир углова

(n - 2) \cdot 180^\circ

. Укључите све дијагонале: за

n = 9

добијате слику од 27 конаца из примера.

Уметници који праве слике од конца разапетог између ексера пребројавају конце управо као дијагонале, а из збира углова мајстори проверавају да ли су добро измерили углове рама, плочице или парцеле.

Слика од конца

За слику од конца ексери се забијају у темена правилног многоугла, а конац се затеже између свака два несуседна ексера. Марија је затегла 27 конаца, по један за сваку дијагоналу. Колико ексера је забила, колико конаца полази из сваког ексера и колики је збир унутрашњих углова тог многоугла?

Решење

Сваки конац је једна дијагонала, па је $\frac{n(n - 3)}{2} = 27$ , односно $n(n - 3) = 54$ .
Тражимо два природна броја која се разликују за 3, а производ им је 54: то су 9 и 6, па је $n = 9$ .
Из сваког ексера полази $d_9 = 9 - 3 = 6$ конаца.
Збир унутрашњих углова деветоугла је $S_9 = (9 - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ .

Одговор: Марија је забила 9 ексера, из сваког полази 6 конаца, а збир унутрашњих углова деветоугла је $1260^\circ$ .

Задатак за вежбу

Збир унутрашњих углова конвексног многоугла је $2520^\circ$ . Колико дијагонала полази из једног темена, а колико их има укупно?

Прикажи решење

$n - 2 = 2520^\circ : 180^\circ = 14$ , па је $n = 16$ . Из једног темена полази $16 - 3 = 13$ дијагонала, а укупно их је $\frac{16 \cdot 13}{2} = 104$ .