Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Правилни многоуглови – други део

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Израчунати укупан број дијагонала,унутрашњи, спољашни и централни угао правилног  десетоугла.

Пр.2) Ако централни угао правилног многоугла износи 45∘{45^ \circ }, израчунати укупан број дијагонала и унутрашеи угао тог многоугла.

Пр.3) Ако је унутрашњи угао правилног многоугла износи 140∘{140^ \circ }, израчунати који је то  многоугао, а затим одредити број дијагонала из једног темена и збир унутрашњих углова.

Пр.4) Код ког правилног многоугла је спољашњи угао два пута мањи од унутрашњег угла?

Пр.5) Централни угао правилног многоугла износи 23\frac{2}{3} унутрашњег угла. Колико тај многоугао има дијагонала?

Пр.6) Израчунати централни и унутрашњи угао многоугла који има укупно 135 дијагонала.

Пр.1) 

n=10‾Dn,α,α1,φ=?Dn=n(n−3)2D10=10(10−3)2D10=35α1=360∘nα1=360∘10α1=36∘φ=α1=36∘α+α1=180∘α=180∘−α1α=180∘−36∘α=144∘\begin{aligned}&\underline {n = 10} \\ &{D_n},\alpha ,{\alpha _1},\varphi = ? \\ & \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{10}} = \frac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{10}} = 35 \\ & \\ &{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{10}} \\ &{\alpha _1} = {36^ \circ } \\ & \\ &\varphi = {\alpha _1} = {36^ \circ } \\ & \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \\ &\alpha = {180^ \circ } - {36^ \circ } \\ &\alpha = {144^ \circ }\end{aligned}

Пр.2) 

φ=45∘‾Dn,α=?φ=α1α1=45∘α+α1=180∘α=180∘−α1α=180∘−45∘α=135∘φ=360∘n45∘=360∘nn=8Dn=n(n−3)2D8=8(8−3)2D8=4⋅5=20\begin{aligned}&\underline {\varphi = {{45}^ \circ }} \\ &{D_n},\alpha = ? \\ & \\ &\varphi = {\alpha _1} \\ &{\alpha _1} = {45^ \circ } \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \\ &\alpha = {180^ \circ } - {45^ \circ } \\ &\alpha = {135^ \circ } \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{45^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &n = 8 \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_8} = \frac{{8\left( {8 - 3} \right)}}{2} \\ &{D_8} = 4 \cdot 5 = 20\end{aligned}

Пр.3) 

φ=140∘‾n,dn,Sn=?α=(n−2)180∘nα+α1=180∘α1=180∘−αα1=180∘−140∘α1=40∘α1=360∘n40∘=360∘nn=9dn=n−3d9=9−3d9=6Sn=(n−2)⋅180∘S9=(9−2)⋅180∘S9=7⋅180∘S9=1260∘\begin{aligned}&\underline {\varphi = {{140}^ \circ }} \\ &n,{d_n},{S_n} = ? \\ & \\ &\alpha = \frac{{\left( {n - 2} \right){{180}^ \circ }}}{n} \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ } - {140^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {40^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{40^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &n = 9 \\ &{d_n} = n - 3 \\ &{d_9} = 9 - 3 \\ &{d_9} = 6 \\ &{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_9} = \left( {9 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_9} = 7 \cdot {180^ \circ } \\ &{S_9} = {1260^ \circ }\end{aligned}

Пр.4) 

α=2α1‾n=?α+α1=180∘2α1+α1=180∘3α1=180∘α1=180∘:3α1=60∘α1=360∘n60∘=360∘nn=6\begin{aligned}&\underline {\alpha = 2{\alpha _1}} \\ &n = ? \\ & \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &2{\alpha _1} + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &3{\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {180^ \circ }:3 \\ &{\alpha _1} = {60^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{60^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &n = 6\end{aligned}

Пр.5) 

φ=23α‾Dn=?φ=α1α1=23αα+α1=180∘α+23α=180∘58α=180∘α=108∘α1=23⋅108∘α1=72∘α1=360∘n72∘=360∘nn=5Dn=n(n−3)2D5=5(5−3)2D5=5\begin{aligned}&\underline {\varphi = \frac{2}{3}\alpha } \\ &{D_n} = ? \\ & \\ &\varphi = {\alpha _1} \\ &{\alpha _1} = \frac{2}{3}\alpha \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha + \frac{2}{3}\alpha = {180^ \circ } \\ &\frac{5}{8}\alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {108^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \frac{2}{3} \cdot {108^ \circ } \\ &{\alpha _1} = {72^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{72^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &n = 5 \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_5} = \frac{{5\left( {5 - 3} \right)}}{2} \\ &{D_5} = 5\end{aligned}

Пр.6)

Dn=135‾φ,α1=?Dn=n(n−3)2135=n(n−3)2n(n−3)=270n(n−3)=2⋅3⋅3⋅3⋅5n(n−3)=18⋅15n=18φ=360∘nφ=360∘18φ=20∘α1=φα1=20∘α+α1=180∘α=180∘−α1α=180∘−20∘α=160∘\begin{aligned}&\underline {{D_n} = 135} \\ &\varphi ,{\alpha _1} = ? \\ & \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &135 = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &n\left( {n - 3} \right) = 270 \\ &n\left( {n - 3} \right) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \\ &n\left( {n - 3} \right) = 18 \cdot 15 \\ &n = 18 \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{18}} \\ &\varphi = {20^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \varphi \\ &{\alpha _1} = {20^ \circ } \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \\ &\alpha = {180^ \circ } - {20^ \circ } \\ &\alpha = {160^ \circ }\end{aligned}

Кад је познат неки угао правилног многоугла, прво израчунајте спољашњи угао, па из α1=360∘n\alpha_1 = \frac{360^\circ}{n} нађите број страница: n=360∘α1n = \frac{360^\circ}{\alpha_1}. Ако је унутрашњи угао 150∘150^\circ, спољашњи је 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ, па је n=360∘:30∘=12n = 360^\circ : 30^\circ = 12. Централни угао једнак је спољашњем, па се и из њега nn добија на исти начин.

Кад знате nn, лако добијате број дијагонала Dn=n(n−3)2D_n = \frac{n(n - 3)}{2} и збир углова Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ. Ако је дат однос углова, на пример α=3α1\alpha = 3\alpha_1, решите једначину 3α1+α1=180∘3\alpha_1 + \alpha_1 = 180^\circ: α1=45∘\alpha_1 = 45^\circ, па је n=8n = 8. Ако 360∘:α1360^\circ : \alpha_1 није природан број, такав правилан многоугао не постоји.

369121518306090120150180210nα (°)
6
Унутрашњи угао α
120°
Спољашњи угао α₁
60°
360° : α
3
Дијагонала
9
Тачке показују унутрашњи угао правилних многоуглова од троугла до двадесетоугла: што више страница, угао је ближи 180∘180^\circ, али га никад не достиже. Плочице се слажу без празнина само кад је 360∘:α360^\circ : \alpha цео број, а то је за n=3n = 3, 4 и 6.

Пчеле граде саће од шестоуглова, а плочице за под и поплочавање тротоара најчешће имају облик квадрата, правилног шестоугла или троугла. Само код ова три правилна многоугла унутрашњи угао стаје цео број пута у 360∘360^\circ, па се слажу без празнина.

Плочице без празнина

Произвођач жели плочице облика правилног многоугла које покривају под без празнина, тако да се у сваком темену састају тачно три плочице. Колики је унутрашњи угао плочице, колико она има страница и колико дијагонала?

Решење

  1. Три једнака угла око заједничког темена чине пун угао: α=360∘:3=120∘\alpha = 360^\circ : 3 = 120^\circ.
  2. Спољашњи угао је α1=180∘−120∘=60∘\alpha_1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.
  3. Из α1=360∘n\alpha_1 = \frac{360^\circ}{n} следи n=360∘:60∘=6n = 360^\circ : 60^\circ = 6: плочица је правилан шестоугао.
  4. Број дијагонала је D6=6⋅32=9D_6 = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9.

Одговор: Плочица има унутрашњи угао 120∘120^\circ; то је правилан шестоугао са 9 дијагонала.

Задатак за вежбу

Централни угао правилног многоугла је 24∘24^\circ. Који је то многоугао, колики му је унутрашњи угао и колико има дијагонала?

Прикажи решење

n=360∘:24∘=15n = 360^\circ : 24^\circ = 15, па је то петнаестоугао. Спољашњи угао је такође 24∘24^\circ, па је α=180∘−24∘=156∘\alpha = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ, а D15=15⋅122=90D_{15} = \frac{15 \cdot 12}{2} = 90.