Питагорина теорема – понављање

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати обим и површину правоуглог троугла чеије су катете

           12cm и 16cm.

Пр.2)   Израчунати дијагоналу правоугаоника чије су основице 6cm и

           8cm.

Пр.3)   Ако је хипотенуза правоуглог троугла 13cm, а једна катета 5cm,

           израчунати обим, површину, као и вицину која одговара

           хипотенузи.

Пр.4)   Ако је дијагонала квадрата $10\sqrt 2 cm$, израчунати обим и површину

           тог квадрата.

Пр.5)   Ако је полупречник уписаног круга у једнакостранични троугао

           3cm, израчунати обим и површину тог троугла.

Пр.6)   Обим ромба је 60cm, а једна дијагонала 18cm. Израчунати

           површину и висину тог ромба

Пр.7)   Основице једнакокракок трапеза су 5cm и 9cm. Израчунати обим и

           површину тог трапеза, ако је један унутрашњи угао:

           а) ${60^ \circ }$    б) ${45^ \circ }$

Пр.1)   

$$\begin{aligned}&a = 12cm \\ &\underline {b = 16cm} \\ &P = ?O = ? \\ & \\ &{c^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{c^2} = {12^2} + {16^2} \\ &{c^2} = 144 + 256 \\ &{c^2} = 400 \\ &c = 20cm \\ &O = 12 + 16 + 20 = 48cm \\ &P = \frac{{ab}}{2} = \frac{{12 \cdot 16}}{2}=96c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.2)   

$$\begin{aligned}&a = 6cm \\ &\underline {b = 8cm} \\ &d = ? \\ & \\ &{d^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{d^2} = {6^2} + {8^2} \\ &{d^2} = 36 + 64 \\ &{d^2} = 100 \\ &d = 10cm\end{aligned}$$

Пр.3)   

$$\begin{aligned}&a = 5cm \\ &\underline {c = 13cm} \\ &O = ?P = ?{h_c} = ? \\ & \\ &{c^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{13^2} = {5^2} + {b^2} \\ &169 = 25 + b \\ &{b^2} = 144 \\ &b = 12cm \\ &O = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30cm \\ &P = \frac{{ab}}{2} = \frac{{5 \cdot 12}}{2} = 30c{m^2} \\ &P = \frac{{c{h_c}}}{2} \\ &30 = \frac{{13{h_c}}}{2} \\ &13{h_c} = 60 \\ &{h_c} = \frac{{60}}{{13}}cm\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&\underline {d = 10\sqrt 2 cm} \\ &O = ?P = ? \\ &d = a\sqrt 2 \\ &10\sqrt 2 = a\sqrt 2 \\ &a = 10cm \\ &O = 4a = 4 \cdot 10 = 40cm \\ &P = {a^2} = {10^2} = 100c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.5)   

$$\begin{aligned}&\underline {{r_u} = 3cm} \\ &O = ?P = ? \\ &r = \frac{h}{3} \\ &3 = \frac{h}{3} \\ &h = 9cm \\ &h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &9 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &a\sqrt 3 = 18 \\ &a = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 cm \\ &O = 3a = 3 \cdot 6\sqrt 3 = 18\sqrt 3 cm \\ &P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 27\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.6)   

$$\begin{aligned}&{d_1} = 18cm \\ &\underline {O = 60cm} \\ &h = ?P = ? \\ & \\ &O = 4a \\ &60 = 4a \\ &a = \frac{{60}}{4} = 15cm \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{15^2} = {\left( {\frac{{18}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &225 = 81 + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = 144 \\ &\frac{{{d_2}}}{2} = 12 \\ &{d_2} = 24cm \\ &P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} = \frac{{18 \cdot 24}}{2} = 216c{m^2} \\ &P = ah \\ &216 = 15h \\ &h = 14,4cm\end{aligned}$$

Пр.7)    

а) $\alpha = {60^ \circ }$

$$\begin{aligned}&a = 9cm \\ &\underline {b = 5cm} \\ &O = ?P = ? \\ & \\ &h = \frac{{c\sqrt 3 }}{2} \\ &h = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} \\ &h = 2\sqrt 3 cm \\ &\frac{{a - b}}{2} = \frac{{9 - 5}}{2} = 2cm \\ &c = 2 \cdot \frac{{a - b}}{2} = 2 \cdot 2 = 4cm \\ &O = a + b + 2c = 9 + 5 + 2 \cdot 4 = 22cm \\ &P = \frac{{a + b}}{2}h = \frac{{9 + 5}}{2} \cdot 2\sqrt 3 = 14\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$$

б) $\alpha = {45^ \circ }$

$$\begin{aligned}&a = 9cm \\ &\underline {b = 5cm} \\ &O = ?P = ? \\ & \\ &h = \frac{{a - b}}{2} = \frac{{9 - 5}}{2} = 2cm \\ &P = \frac{{a + b}}{2} \cdot h = \frac{{9 + 5}}{2} \cdot 2 = 14c{m^2} \\ &c = h\sqrt 2 = 2\sqrt 2 cm \\ &O = a + b + 2c = 9 + 5 + 2 \cdot 2\sqrt 2 = 14 + 4\sqrt 2 cm\end{aligned}$$