Квадрат и квадратни корен рационалног броја

Квадрат и квадратни корен рационалног броја. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Израчунати:

а) $- {5^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} =$

б) ${2^2} + {3^2} - {5^2} =$

в) $- 2 \cdot {4^2} - 4 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - {\left( { - 1,5} \right)^2} =$

Пр.2) Израчунати:

а) $\sqrt {36} - \sqrt {81} =$

б)

5\sqrt {16} - 2\sqrt {121} =

в) $\sqrt {2\frac{1}{4}} - \sqrt {5\frac{4}{9}} =$

г)

1\frac{1}{3}:\sqrt {\frac{4}{9}} + \frac{1}{{\sqrt {225} }} \cdot 1\frac{2}{3} =

Пр.3) Израчунати:

а)

2\sqrt {361} - {5^2} =

б) $- {12^2} \cdot \sqrt {\frac{{25}}{{144}}} + {\left( { - 3} \right)^2}:\sqrt {\frac{{81}}{{289}}} =$

Пр.1) Израчунати:

а) $- {5^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} = - 25 \cdot 4 = - 100$

б) ${2^2} + {3^2} - {5^2} = 4 + 9 - 25 = - 12$

в) $- 2 \cdot {4^2} - 4 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - {\left( { - 1,5} \right)^2} =$

$= - 2 \cdot 16 - 4 \cdot 4 - 2,25 = - 32 - 16 - 2,25 = - 50,25$

Пр.2) Израчунати:

а) $\sqrt {36} - \sqrt {81} = 9 - 6 = 3$

б)

5\sqrt {16} - 2\sqrt {121} = 20 - 2 \cdot 11 = 20 - 22 = - 2

в) $\sqrt {2\frac{1}{4}} - \sqrt {5\frac{4}{9}} = \sqrt {\frac{9}{4}} - \sqrt {\frac{{49}}{9}} = \frac{3}{2} - \frac{7}{3} = \frac{9}{6} - \frac{{14}}{6} = - \frac{5}{6}$

г)

1\frac{1}{3}:\sqrt {\frac{4}{9}} + \frac{1}{{\sqrt {225} }} \cdot 1\frac{2}{3} = \frac{4}{3}:\frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} \cdot \frac{5}{3} = 2 + \frac{1}{9} = 2\frac{1}{9}

Пр.3) Израчунати:

а)

2\sqrt {361} - {5^2} = 2 \cdot 19 - 25 = 38 - 25 = 13

б) $- {12^2} \cdot \sqrt {\frac{{25}}{{144}}} + {\left( { - 3} \right)^2}:\sqrt {\frac{{81}}{{289}}} = - 144 \cdot \frac{5}{{12}} + 9:\frac{9}{{17}} = - 12 \cdot 5 + 17 = - 43$

У изразима са квадратима и коренима важи уобичајени редослед: прво се рачунају квадрати и корени, затим множење и дељење, а на крају сабирање и одузимање. Тако је $-5^2 \cdot (-2)^2 = -25 \cdot 4 = -100$ , а $3\sqrt{25} - 4\sqrt{9} = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 3 = 3$ : број испред корена множи вредност корена. Мешовити број под кореном прво претворите у неправи разломак: $\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ . Резултат проверите квадрирањем: $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ .

Најчешћа грешка је кореновање збира сабирак по сабирак. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ , па корен збира није збир корена: прво саберите бројеве под кореном. Пазите и на минус испред квадрата: $-5^2 = -25$ , а $(-5)^2 = 25$ .

Површина прве собе20,25 m²

Површина друге собе12,25 m²

√P₁ + √P₂: 8 m
√(P₁ + P₂): 5,7 m

Зид ходника је увек

\sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}

, а

\sqrt{P_1 + P_2}

је мањи број. Почетне собе су из примера:

4{,}5 + 3{,}5 = 8

, а

\sqrt{32{,}5} \approx 5{,}7

.

Квадрати и корени у истом рачуну јављају се кад се из површина враћају дужине које се затим сабирају: на плану стана, код плочица у низу или парцела једна до друге.

Две собе уз ходник

На плану стана две квадратне собе стоје једна до друге, а њихови зидови се настављају дуж ходника. Површина прве собе је 20,25 m², а друге 12,25 m². Колико је дугачак зид ходника уз обе собе? Да ли би се исти резултат добио као $\sqrt{20{,}25 + 12{,}25}$ ?

Решење

Страница прве собе је $\sqrt{20{,}25} = 4{,}5$ m, јер је $4{,}5^2 = 20{,}25$ .
Страница друге собе је $\sqrt{12{,}25} = 3{,}5$ m, јер је $3{,}5^2 = 12{,}25$ .
Зид ходника уз обе собе је $\sqrt{20{,}25} + \sqrt{12{,}25} = 4{,}5 + 3{,}5 = 8$ m.
Рачун $\sqrt{20{,}25 + 12{,}25} = \sqrt{32{,}5} \approx 5{,}7$ даје погрешан резултат, мањи од 8 m: корен збира није збир корена.

Одговор: Зид ходника уз обе собе дугачак је 8 m.

Задатак за вежбу

Израчунајте $3\sqrt{1{,}44} - 2^2 \cdot \sqrt{0{,}25} + \left(-\frac{1}{2}\right)^2$ .

Прикажи решење

$3 \cdot 1{,}2 - 4 \cdot 0{,}5 + \frac{1}{4} = 3{,}6 - 2 + 0{,}25 = 1{,}85$ .