Примена Питагорине теореме на правоугаоник и квадрат 2

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Дијагонале правоугаоника секу се под углом од ${60^ \circ }$ . Израчунати обим и површину тог правоугаоника ако је дужина дијагонала 12cm.

Пр.2) Дат је квадрат $ABCD$ странице 8cm. Тачке E и F су на страницама $AB$ и $BC$ тако да је $BE = BF = 2cm$ . Израчунати обим и површину четвороугла $EBFD$ .

Пр.3) Квадрат и правоугаоник имају исту површину. Ако је страница квадрата 12cm, а једна страница правоугаоника четири пута дужа од друге, израчунати дужину дијагонале правоугаоника.

Пр.4) Ако су странице правоугаоника 12cm и 16cm, израчунати растојање темена $A$ од дијагонале $BD$ .

Пр.1)

598 png

$\begin{aligned}&\underline {d = 12cm} \\ &O = ?P = ? \\ &b = \frac{d}{2} = \frac{{12}}{2} = 6cm \\ &{d^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{12^2} = {a^2} + {6^2} \\ &{a^2} = 144 - 36 \\ &{a^2} = 108 \\ &a = 6\sqrt 3 cm \\ & \\ &O = 2a + 2b = 2 \cdot 6\sqrt 3 + 12cm \\ &P = ab = 6 \cdot 6\sqrt 3 = 36\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$

Пр.2)

599 png

$EB = BF,ED = DF \Rightarrow FBED$ - делтоид.

$\begin{aligned}&{P_{FBED}} = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \\ &{d_1} = a\sqrt 2 \\ &{d_1} = 8\sqrt 2 \\ &{d_2} = BE\sqrt 2 \\ &{d_2} = 2\sqrt 2 \\ &{P_{FBED}} = \frac{{8\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 }}{2} = 16c{m^2} \\ &O = DE + DF + BE + BF = 2\left( {DE + BE} \right) \\ &D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} \\ &D{E^2} = {8^2} + {6^2} \\ &D{E^2} = 64 + 36 \\ &D{E^2} = 100 \\ &DE = 10cm \\ &O = 2\left( {DE + BE} \right) = 2\left( {10 + 2} \right) = 24cm\end{aligned}$

Пр.3)

600 png

$\begin{aligned}&{a_k} = 12cm \\ &\underline {{P_k} = {P_p}} \\ &{d_p} = ? \\ & \\ &{P_k} = a_k^2 \\ &{P_k} = {12^2} \\ &{P_k} = 144c{m^2} \Rightarrow {P_p} = 144c{m^2} \\ & \\ &{a_p} = 4{b_p} \\ &{P_p} = {a_p} \cdot {b_p} = 4{b_p} \cdot {b_p} = 4{b_p}^2 \\ &4{b_p}^2 = 144 \\ &{b_p}^2 = \frac{{144}}{4} \\ &{b_p}^2 = 36 \\ &{b_p} = 6cm \\ & \\ &{a_p} = 4{b_p} = 4 \cdot 6 = 24cm \\ & \\ &{d_p}^2 = {a_p}^2 + {b_p}^2 \\ &{d_p}^2 = {24^2} + {6^2} = 576 + 36 = 612 \\ &{d_p} = 6\sqrt {17} cm\end{aligned}$

Пр.4)

601 png

$\begin{aligned}&a = 12cm \\ &\underline {b = 16cm} \\ &{h_d} = ? \\ & \\ &{d^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{d^2} = {12^2} + {16^2} = 144 + 256 = 400 \\ &d = 20cm \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{ab}}{2} = \frac{{12 \cdot 16}}{2} = 96c{m^2} \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{d{h_d}}}{2} \\ &96c{m^2} = \frac{{20{h_d}}}{2} \\ &{h_d} = \frac{{96 \cdot 2}}{{20}} = 9,6cm\end{aligned}$

Тежи задаци о правоугаонику и квадрату повезују Питагорину теорему са другим особинама. Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Ако се секу под углом од $60^\circ$ , половине дијагонала и краћа страница чине једнакостранични троугао, па је краћа страница $\frac{d}{2}$ . Растојање темена од дијагонале је висина правоуглог троугла: из $\frac{ab}{2} = \frac{d \cdot h}{2}$ следи $h = \frac{ab}{d}$ .

Кад су задате површине, однос страница или фигура уписана у квадрат, прво поставите једначину за непознату страницу, а затим примените $d^2 = a^2 + b^2$ . На скици обележите све познате дужине: тако се види који правоугли троугао треба искористити.

Дијагонала d: 10
Растојање h: 4,8
a · b : d: 4,8

Почетна ливада је у размери

1 : 10

: странице 8 и 6, дијагонала 10 и

h = \frac{8 \cdot 6}{10} = 4{,}8

. Испрекидана дуж је најкраћи пут од темена

A

до дијагонале и увек је нормална на њу.

Растојање тачке од праве, као најкраћи пут од куће до пута, цеви или кабла, рачунају геодете и пројектанти кад планирају прикључке и стазе.

Кућа поред стазе

Правоугаона ливада има странице 80 m и 60 m. Преко ливаде води права стаза из једног угла у супротни. У једном од друга два угла је кућа. Колико је кућа удаљена од стазе, мерено најкраћим путем?

Решење

Стаза је дијагонала: $d = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10\,000} = 100$ m.
Стаза и две странице ливаде чине правоугли троугао површине $\frac{80 \cdot 60}{2} = 2400$ m².
Најкраћи пут од куће до стазе је висина $h$ тог троугла на дијагоналу: $\frac{100 \cdot h}{2} = 2400$ , па је $h = \frac{4800}{100} = 48$ m.

Одговор: Кућа је 48 m удаљена од стазе.

Задатак за вежбу

Дијагонале правоугаоника дугачке су 10 cm и секу се под углом од $60^\circ$ . Израчунајте обим и површину правоугаоника.

Прикажи решење

Краћа страница је $\frac{10}{2} = 5$ cm, а дужа $\sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ cm. Зато је $O = 10 + 10\sqrt{3}$ cm и $P = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ cm².