Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Квадратни корен и квадрат броја

Квадратни корен и квадрат броја. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати:

           а) 52−(−9)2=\sqrt {{5^2}} - \sqrt {{{\left( { - 9} \right)}^2}} =

           б) 52,62−2(−5)2−3,42+(−0,1)2=5\sqrt {2,{6^2}} - 2\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} - \sqrt {3,{4^2}} + \sqrt {{{\left( { - 0,1} \right)}^2}} =

Пр.2)   Израчунати:

           а) 1916+(114)2−6+14=\sqrt {1\frac{9}{{16}}} + \sqrt {{{\left( {1\frac{1}{4}} \right)}^2}} - \sqrt {6 + \frac{1}{4}} =

           б) (121−(123)2⋅(−916)2):(114⋅1625−0,81)=\left( {\sqrt {121} - {{\left( {1\frac{2}{3}} \right)}^2} \cdot \sqrt {{{\left( { - \frac{9}{{16}}} \right)}^2}} } \right):\left( {1\frac{1}{4} \cdot \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} - \sqrt {0,81} } \right) =

Пр.1)   

а)   52−(−9)2=∣5∣−∣−9∣=5−9=−4\sqrt {{5^2}} - \sqrt {{{\left( { - 9} \right)}^2}} = \left| 5 \right| - \left| { - 9} \right| = 5 - 9 = - 4

б)   52,62−2(−5)2−3,42+(−0,1)2=5\sqrt {{{2,6}^2}} - 2\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} - \sqrt {{{3,4}^2}} + \sqrt {{{\left( { - 0,1} \right)}^2}} =

=5⋅∣2,6∣−2⋅∣−5∣−∣3,4∣+∣−0,1∣==5 \cdot \left| {2,6} \right| - 2 \cdot \left| { - 5} \right| - \left| {3,4} \right| + \left| { - 0,1} \right| =

=5⋅2,6−2⋅5−3,4+0,1=13−10−3,4+0,1=−0,3= 5 \cdot 2,6 - 2 \cdot 5 - 3,4 + 0,1 = 13 - 10 - 3,4 + 0,1 = - 0,3

Пр.2)   

а)   1916+(114)2−6+14=2516+∣114∣−614=\sqrt {1\frac{9}{{16}}} + \sqrt {{{\left( {1\frac{1}{4}} \right)}^2}} - \sqrt {6 + \frac{1}{4}} = \sqrt {\frac{{25}}{{16}}} + \left| {1\frac{1}{4}} \right| - \sqrt {6\frac{1}{4}} =

=54+114−254==\frac{5}{4} + 1\frac{1}{4} - \sqrt {\frac{{25}}{4}} =

=54+54−254=104−52=52−52=0= \frac{5}{4} + \frac{5}{4} - \sqrt {\frac{{25}}{4}} = \frac{{10}}{4} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 0

б)   (121−(123)2⋅(−916)2):(114⋅1625−0,81)=\left( {\sqrt {121} - {{\left( {1\frac{2}{3}} \right)}^2} \cdot \sqrt {{{\left( { - \frac{9}{{16}}} \right)}^2}} } \right):\left( {1\frac{1}{4} \cdot \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} - \sqrt {0,81} } \right) =

=(11−(53)2⋅∣−916∣):(54⋅45−0,9)=(11−259⋅916):(1−0,9)== \left( {11 - {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^2} \cdot \left| { - \frac{9}{{16}}} \right|} \right):\left( {\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} - 0,9} \right) = \left( {11 - \frac{{25}}{9} \cdot \frac{9}{{16}}} \right):\left( {1 - 0,9} \right) =

=(11−2516):0,1=(11−1916):0,1=9716:0,1=9716:0,1=15116⋅10== \left( {11 - \frac{{25}}{{16}}} \right):0,1 = \left( {11 - 1\frac{9}{{16}}} \right):0,1 = 9\frac{7}{{16}}:0,1 = 9\frac{7}{{16}}:0,1 = \frac{{151}}{{16}} \cdot 10 =

=1518⋅5=7558=94,375= \frac{{151}}{8} \cdot 5 = \frac{{755}}{8} = 94,375

Корен из квадрата броја није увек сам тај број: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|. Корен је увек ненегативан, па је 52=5\sqrt{5^2} = 5, али (−9)2=81=9=∣−9∣\sqrt{(-9)^2} = \sqrt{81} = 9 = |-9|. Обрнуто, (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a важи само за a≥0a \ge 0, јер корен из негативног броја не постоји. Исто правило важи и за изразе: (x−3)2=∣x−3∣\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|, што ће вам требати у једначинама.

У задацима прво замените сваки x2\sqrt{x^2} апсолутном вредношћу броја xx, па тек онда рачунајте: 41,52−3(−2)2=4⋅1,5−3⋅2=04\sqrt{1{,}5^2} - 3\sqrt{(-2)^2} = 4 \cdot 1{,}5 - 3 \cdot 2 = 0. Мешовите бројеве претворите у неправе разломке пре кореновања. Најчешћа грешка је (−9)2=−9\sqrt{(-9)^2} = -9: резултат кореновања никад није негативан, ма какав био број који се квадрира.

−5−4−3−2−1012345|a| = 3a√(a²)
−3
a²
9
√(a²)
3
|a|
3
Док је aa позитивно, тачка a2\sqrt{a^2} поклапа се са aa. Кад aa пређе на негативну страну, a2\sqrt{a^2} остаје десно од нуле, на истом растојању од ње: то је ∣a∣|a|.

Рачунарске игре и програми за цртање рачунају растојање две тачке као корен из збира квадрата разлика њихових координата. На правој је то (x2−x1)2=∣x2−x1∣\sqrt{(x_2 - x_1)^2} = |x_2 - x_1|, па растојање никад не испада негативно, без обзира на то од које се тачке рачуна.

Растојање дуж пута

Положаји на правом путу мере се у километрима од аутобуске станице: западно од ње су негативни, а источно позитивни бројеви. Бензинска пумпа је на −12,5-12{,}5 km, а школа на 7,57{,}5 km. Растојање тачака x1x_1 и x2x_2 на правој је (x2−x1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2}. Колико је пумпа удаљена од школе и да ли резултат зависи од тога коју тачку узмете као прву?

Решење

  1. Ако је прва тачка пумпа: (7,5−(−12,5))2=202=400=20\sqrt{(7{,}5 - (-12{,}5))^2} = \sqrt{20^2} = \sqrt{400} = 20.
  2. Ако је прва тачка школа: (−12,5−7,5)2=(−20)2=400=20\sqrt{(-12{,}5 - 7{,}5)^2} = \sqrt{(-20)^2} = \sqrt{400} = 20.
  3. Оба пута је резултат ∣20∣=∣−20∣=20|20| = |-20| = 20, јер је a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|. Погрешно (−20)2=−20\sqrt{(-20)^2} = -20 дало би негативно растојање.

Одговор: Пумпа је 20 km удаљена од школе, без обзира на редослед тачака.

Задатак за вежбу

Израчунајте 3(−4)2−2,52+(−34)23\sqrt{(-4)^2} - \sqrt{2{,}5^2} + \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2}.

Прикажи решење

3⋅∣−4∣−∣2,5∣+∣−34∣=12−2,5+0,75=10,253 \cdot |-4| - |2{,}5| + \left|-\frac{3}{4}\right| = 12 - 2{,}5 + 0{,}75 = 10{,}25.