Многоугао – понављање радива

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати укупан број дијагонала, збир унутрашњих углова

           и број дијагонала из једног темена у конвексном седмоуглу.

Пр.2)   Ако је збир унутрашњих углова неког многоугла ${1980^ \circ }$,

           одреди који је то многоугао?

Пр3)    Ако се из једног темена правилног многоугла може повући

           7 дијагонала, одреди централни унутрашњи и спољањи

            угао тог многоугла.

Пр.4)   Централни угао правилног многоугла је ${40^ \circ }$. Одреди:

           а) који је то многоугао,

           б) унутрашњи угао тог многоугла,

           в) збир унутрашњих углова многоугла,

           г) укупан број дијагонала,

           д) број дијагонала из једног темена.

Пр.5)   Спољашњи угао правилног многоугла износи $\frac{1}{4}$

            унутрашњег угла. Који је то многоугао и колико укупно има

            дијагонала?

Пр.6)   У конвексном  многоуглу има 90 дијагонала. Који је то

           многоугао?

Пр.1)   

$$\begin{aligned}&\underline {n = 17} \\ &{D_n},{S_n},{d_n} = ? \\ & \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{17}} = \frac{{17\left( {17 - 3} \right)}}{2} \\ &{D_{17}} = \frac{{17 \cdot 14}}{2} = 119 \\ &{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{17}} = \left( {17 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{17}} = 15 \cdot {180^ \circ } \\ &{S_{17}} = {2700^ \circ } \\ &{d_n} = n - 3 \\ &{d_{17}} = 17 - 3 = 14\end{aligned}$$

Пр.2)   

$$\begin{aligned}&\underline {{S_n} = {{1980}^ \circ }} \\ &n = ? \\ & \\ &{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &{1980^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \\ &n - 2 = \frac{{{{1980}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \\ &n - 2 = 11 \\ &n = 11 + 2 = 13\end{aligned}$$

Пр3)    

$$\begin{aligned}&\underline {{d_n} = 7} \\ &\varphi ,\alpha ,{\alpha _1} = ? \\ & \\ &{d_n} = n - 3 \\ &7 = n - 3 \\ &n = 7 + 3 = 10 \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &\varphi = {36^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \varphi = {36^ \circ } \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha + {36^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {36^ \circ } \\ &\alpha = {144^ \circ }\end{aligned}$$

Пр.4)   

$$\begin{aligned}&\underline {\varphi = 7} \\ &n,\alpha ,{S_n},{D_n},{d_n} = ? \\ & \\ &\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{40^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &n = {\frac{{360}}{{{{40}^ \circ }}}^ \circ } = 9 \\ &{\alpha _1} = \varphi = {40^ \circ } \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha + {40^ \circ } = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {40^ \circ } \\ &\alpha = {140^ \circ } \\ &{S_n} = n \cdot \alpha \\ &{S_n} = 9 \cdot {140^ \circ } \\ &{S_n} = {1260^ \circ } \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_9} = \frac{{9\left( {9 - 3} \right)}}{2} = 27 \\ &{d_n} = n - 3 \\ &{d_9} = 9 - 3 = 6\end{aligned}$$

Пр.5)   

$$\begin{aligned}&\underline {{\alpha _1} = \frac{1}{4}\alpha } \\ &n,{D_n} = ? \\ &\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \\ &\alpha + \frac{1}{4}\alpha = {180^ \circ } \\ &\frac{5}{4}\alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ }:\frac{5}{4} \\ &\alpha = {144^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \frac{1}{4}\alpha = \frac{1}{4} \cdot {144^ \circ } = {36^ \circ } \\ &{\alpha _1} = \varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &{36^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \\ &n = 10 \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &{D_n} = \frac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} = 35\end{aligned}$$

Пр.6)   

$$\begin{aligned}&\underline {{D_n} = 90} \\ &n = ? \\ &{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &90 = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \\ &n\left( {n - 3} \right) = 180 \\ &n\left( {n - 3} \right) = \underline {2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \underline{\underline {3 \cdot 5}} \\ &n\left( {n - 3} \right) = 15 \cdot 12 \\ &n = 15\end{aligned}$$